ExGcd
gcd
輾轉相除法，即\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a \mod b)\)。
lcm
\(lcm(a,b)=\frac{a \times b}{\gcd(a,b)}\)。
ExCrt
Excrt求解核心（合並方程）
大數翻倍法
void merge(int a1,int p1,int a2,int p2){
//x%p1=a1
//x%p2=a2
//x%p=a
if(p1<p2) swap(a1,a2),swap(p1,p2);
//最壞復雜度是未翻倍的數，以上操作使得復雜度變為min(p1,p2)
int x=a1;
while(x%p2!=a2) x+=p1;
//在方程一中，x對p1取模，所以加一點p1也無所謂，可以一只加p1直到它滿足p2為止
return x%lcm(p1,p2);
}
//卡掉以上代碼：當且僅當只有兩個1e9以上的大質數計算取模（組合數）
n,m\(\leq\)2000,p不限
暴力。
n\(\leq 10^9\),m\(\leq 10^3\),p=\(10^9+7\)
逆元。
n\(\leq 10^9\),m\(\leq 10^3\),p=任意數
對於兩個階乘，暴力枚舉並約分，然后計算所有數的積。
n,m\(\leq 10^9\),p\(\leq\)100
使用盧卡斯定理，將n和m拆分成p進制，使得逆元得以產生，拆分后低位對齊，高位補零，然后對於每一位進行對應地運算。
容斥原理
給定若干集合的大小及若干集合交的大小，求若干集合並的大小。
顯然，\(S_1 \bigcup S_2 = S_1+S_2-S_1 \bigcap S_2\) ，容斥原理的核心思想正是如此。
公式：\(\bigcup\limits_{1\le i\le n} S_i=\sum\limits_{S\in\left\{S_1,S_2,\cdots,S_n\right\}}{(-1)}^{\left|S\right|+1}\left|\bigcap\limits_{S_i\in S}S_i\right|\)
例1.n夫妻問題
現有n對夫妻做成一圈，對於每個方案（旋轉后相同認為是同一方案），要求沒有任意一對夫妻相鄰。
n對夫妻隨便坐
圓排列，方案為\((2n-1)!\)。
處理
強制把一對夫妻綁在一起，此時這兩個人可以視為一個單位，那么這些單位隨便坐的方案為\((2n-1)!\)。
所以，拎出一對夫妻綁在一起再隨便坐的方案為 \(C^m_n \times (2n-1)! \times 2^1\)。
但是，兩對夫妻綁在一起的會被減去兩次，要加回來。
然后，三對的會多加一次，要減回去。
四次加回來，五次減回去……
然后就是容斥，最終公式為 \(\sum\limits^n_{i=0}{C^m_n \times (2n-1-i)! \times 2^i \times (-1)^i}\)。
例2.FoxJumping
給定一個大小為\(n \times m\)的矩陣，要你從\((0,0)\)走R步到\((n,m)\)，每次可以從\((x,y)\)走到\((x+d_x,y+d_y)\)，要求 \(0 \leq d_x \leq T_x\)，\(0 \leq d_y \leq T_y\)，\(d_x+d_y \neq 0\) 且 \(\forall 1 \leq i \leq k,(d_{x_i},d_{y_i}) \neq (10 \times z_i,10 \times z_i) \)，\(n,m \leq 800\)。
設\(f[R][N]\)表示走R步x軸走到n的方案，\(g[R][M]\)表示走R步y走到m的方案（不考慮是否合法），最終總方案就是\(f[R][N] \times g[R][M]\)。
接下來考慮只走不合法步驟的路徑，設 \(h[i][z]\) 表示只走i步不合法，走到 \( (10 \times z_i,10 \times z_i) \) 的方案數。
所以總不合法的方案數為\(\sum\limits^k_{i=0}{(-1)^i \sum\limits^{\frac{min(n,m)}{10}}_{z=0}{h[i][z]}\times f[k-i][N-10z]\times g[k-i][M-10z]}\)。（i步不合法到某個\(z_i\)的位置的方案乘上剩下的步數的合法的方案）