電位和電位差
個人學習了 MIT 和大學課本里面的電位內容，於是自己寫了一點東西
可以結合隨筆“電位”去看
我們都知道靜電場是保守場，也就是電場強度積分與路徑無關。
假如我們要計算電場力對運動電荷所做的功，可以假設一個試驗電荷在靜電場中
此時，得到的功的公式除了與位置和電場強度有關，還與試驗電荷大小有關。
但是！試驗電荷畢竟是我們放進去的，可以說是加了個工具，那我們想一下，同樣是工具，我們能不能用另一個工具代替這個試驗電荷呢，有，那就是電位。
也就是功/試驗電荷，W/\(q_0\)，代表了試驗電荷從 P 點移動至 Q 點的過程中，電場力對單位電荷所做的功，也稱為這兩點之間的電位差，記為 \(U_{PQ}\) 或 \(\phi_P-\phi_Q\)
\[U_{P Q}=\Phi_{P}-\Phi_{Q}=\frac{W_{P Q}}{q_{0}}=\int_{P}^{Q} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} \]
注意: 電位差是一個標量, 它的單位是伏特 \((\mathrm{V})\) 。
\[U_{P Q}=\Phi_{P}-\Phi_{Q}=\int_{P}^{Q} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\int_{P}^{Q} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{R^{2}} \boldsymbol{e}_{R} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{P}^{Q} \frac{\mathrm{d} R}{R^{2}} \]
即
\[U_{P Q}=\Phi_{P}-\Phi_{Q}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{R_{P}}-\frac{1}{R_{Q}}\right) \]
上面定義的是靜電場中兩點的電位差, 如果我們要定義場中任一點 \(P\) 的電位 \(\Phi_{P}\), 還 必須事先選定一個參考點 \(P_{0}\) 。若令該點的電位為零 \(\left(\Phi_{P_{0}}=0\right)\), 則 \(P\) 的電位就定義為 \(P\) 點 與 \(P_{0}\) 點之間的電位差, 即
\[\Phi_{P}=U_{P P_{0}}=\Phi_{P}-\Phi_{P_{0}}=\frac{W_{P P_{0}}}{q_{0}}=\int_{P}^{P_{0}} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} \]
也就是說, 靜電場中任一點的電位定義為將單位正電荷由該點移動至零電位參考點時電 場力所做的功。電位與電位差一樣, 也是一個標量, 單位為伏特 \((\mathrm{V})\) 。
假設在真空中位於矢徑為 \(\boldsymbol{r}^{\prime}\) 的源點上有一個電量為 \(q\) 的點電荷, 則它在矢徑為 \(\boldsymbol{r}\) 的 場點上所建立的電位 \(\Phi(\boldsymbol{r})\) 為
\[\Phi(\boldsymbol{r})=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right|}+C \]
式中, \(C\) 是一個與零電位參考點 \(P_{0}\) 的位置矢量 \(\boldsymbol{r}_{0}\) 有關的常數, 它應為
\[C=-\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}\left|\boldsymbol{r}_{0}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right|} \]
零電位的定義很重要，當源電荷處在一個有限的區域內時，人們常常選擇無限遠處為零電位參考點。此時 C=0，從而使點電荷 q 在空間建立的電位分布函數表示式簡化為
\[\Phi(\boldsymbol{r})=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right|} \]
源點處的電荷可以看做電荷元，也就是分為無數個微小區域，每一個微小區域近似視為一個點電荷。根據被實驗證實了的電位疊加原理，在相同的零電位參考點下，整個電荷分布在空間任一場點所產生的電位應等於所有這些電荷元在同一場點所產生電位的代數和。因此，對於密度為 \(\rho\) 的體電荷、面電荷、線電荷來說，電位分布函數如下：
\[\begin{aligned} &\Phi(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{V} \frac{\rho\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right|} \mathrm{d} V^{\prime} \\ &\Phi(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{S} \frac{\rho_{S}\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right|} \mathrm{d} S^{\prime} \\ &\Phi(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{l} \frac{\rho_{l}\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right|} \mathrm{d} l^{\prime} \end{aligned} \]
電位和電場強度
電場強度 E 和電位 \(\Phi\)是描述電場性質的兩個物理量，不難想象，它們之間必定存在某種形式的聯系
設在真空的源區 \(V\) 中存在着密度為 \(\rho\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right)\) 的體電荷分布, 它在場點 \(\boldsymbol{r}\) 上所產生的電位 為\(\Phi\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right)\) 。它的電位梯度分布應為
\[\begin{aligned} \nabla \Phi(\boldsymbol{r}) &=\nabla\left[\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{V} \frac{\rho\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right)}{R} \mathrm{~d} V^{\prime}\right] \\ &=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{V} \rho\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right) \boldsymbol{\nabla} \frac{1}{R} \mathrm{~d} V^{\prime} \end{aligned} \]
式中, \(R=\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right|\) 表示場點與源點之間的距離。函數 \(1 / R\) 的梯度為
\[\nabla \frac{1}{R}=-\nabla^{\prime} \frac{1}{R}=-\frac{\boldsymbol{R}}{R^{3}} \]
將上式代入
\[\nabla \Phi(\boldsymbol{r})=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{V} \frac{\rho\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right) \boldsymbol{R}}{R^{3}} \mathrm{~d} V^{\prime} \]
與電場強度公式比較, 得到
\[\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=-\boldsymbol{\nabla} \Phi(\boldsymbol{r}) \]
這就是將電場強度矢量和電位標量聯系起來的一個重要關系式。
這個公式表明，電場強度矢量與電位梯度矢量大小相等，方向相反。
如果將空間電位相等的點所構成的面稱為靜電場的等位面，這也同時說明，電場強度矢量的方向與等位面相垂直且指向電位降低的方向。
上面提到過, 電位的計算與零電位參考點位置的選擇有關。參考點位置不同, 電位 的大小也不同。當零電位點不在無限遠處時, 計算得出的電位 \(\Phi(\boldsymbol{r})\) 需要加上一個與參考點位置有關的常數 \(C\), 使電位成為 \(\Phi(\boldsymbol{r})+C\) 。但是, 當我們 利用電位函數來計算電場強度分布時,其求出的電場強度值卻與電位參考點的位置無關。 有
\[\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=-\boldsymbol{\nabla}[\Phi(\boldsymbol{r})+C]=-\nabla \Phi(\boldsymbol{r}) \]
它說明, 利用電位 \(\Phi(\boldsymbol{r})+C\) (取一有限點為零電位點)所 求出的場強和利用電位 \(\Phi(\boldsymbol{r})\) (取無限遠為零電位點)所求出 的場強是相同的。
電位的微分方程和邊界條件
在利用電位求解復雜的靜電場問題時，通常也必須要求解電位的微分方程。但是由於電位是一個標量，所以它所滿足的微分方程也是比較容易求解的標量微分方程
- 電位的泊松方程和拉普拉斯方程
在均勻、線性和各向同性的電介質中, \(D=\varepsilon \boldsymbol{E}\), 其中 \(\varepsilon\) 為常數。代入 靜電場的基本方程（麥克斯韋方程的靜電場的高斯定理）可得
\[\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{D}=\boldsymbol{\nabla} \cdot(\varepsilon \boldsymbol{E})=\varepsilon \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E}+\boldsymbol{\nabla} \varepsilon \cdot \boldsymbol{E}=\varepsilon \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E}=\rho \]
將 \(\boldsymbol{E}=-\nabla \Phi\) 代入上式得到
\[-\varepsilon \nabla \cdot \nabla \Phi=\rho \]
即
\[\nabla^{2} \Phi=-\frac{\rho}{\varepsilon} \]
稱為電位的泊松 (Poisson) 方程。
在不存在電荷的無源區域內, \(\rho=0\), 上式為
\[\nabla^{2} \Phi=0 \]
稱為電位的拉普拉斯方程。
- 電場強度的泊松方程和拉普拉斯方程
對電場強度而言, 依矢量恆等式，有
\[\boldsymbol{\nabla} \times(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E})=\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E})-\nabla^{2} \boldsymbol{E} \]
將靜電場基本方程式 \(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}=0\) 和 \(\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon}\) 代入上式, 得出
\[\nabla^{2} \boldsymbol{E}=\frac{\boldsymbol{\nabla} \rho}{\varepsilon} \]
稱為電場強度的泊松方程, 這是一個矢量方程。在直角坐標系中, 它可以分為 三個標量泊松方程, 每個方程只含有一個分量, 即
\[\begin{aligned} \nabla^{2} E_{x} &=\frac{1}{\varepsilon} \frac{\partial \rho}{\partial x} \\ \nabla^{2} E_{y} &=\frac{1}{\varepsilon} \frac{\partial \rho}{\partial y} \\ \nabla^{2} E_{z} &=\frac{1}{\varepsilon} \frac{\partial \rho}{\partial z} \end{aligned} \]
在體電荷為均勻分布 \((\rho=\) 常數) 或者在無源 \((\rho=0)\) 的區域內, \(\nabla \rho=0\), 電場強度的泊松方程為
\[\nabla^{2} \boldsymbol{E}=0 \]
稱為電場強度的拉普拉斯方程, 也是一個矢量方程。
- 上述討論都是在均勻的線性和各向同性的電介質中，非均勻的介電常數是空間坐標的函數，即 \(\nabla \varepsilon\ne 0\)，那么電位和電場強度的微分方程都不再是上述的泊松方程和拉普拉斯方程。
電位的邊界條件
- 導體必為等位體，導體與電介質的的交界面必為等位面
- 如果說導體與電介質的交界面不為等位面，那么電位梯度（電場強度）在界面上就會成為無窮大。
總結
求電位通常都是為了得到電場
