電場方向指向電位降低的方向
如果確實測量到有電勢的改變,那么對於電場的 \(X\) 分量,其大小為
\[|E_x|=\left.|\frac{\Delta V}{\Delta x}|\right|_{y,z} \]
同理可以測得電場在 \(Y\) 方向上的分量
\[|E_{y}|=\left.|\frac{\Delta V}{\Delta y}|\right|_{x z} \]
以及在 \(Z\) 方向上的分量
\[|E_{z}|=\left.|\frac{\Delta V}{\Delta z}|\right|_{x y} \]
也就是說,
\[\overrightarrow{\mathbf{E}}=-\nabla V \]
也就是說,
這里解釋一下第三步,對電位在dl方向上取梯度,也就是電位下降最快的方向,這里可以直接由A指向B(兩點之間,線段最短)
即
\[W=\varphi_A-\varphi_B \\ \varphi_A-\varphi_B=\int_l E\cdot dl \\ U_0=\varphi_A-\varphi_B \]
\(U_0\)為電位差(上面的電荷為單位電荷)
好了,以上貌似是標准的電位和電勢能的關系了,但回想一下勢能和勢的概念,是不是還少了點什么?
從 a 移動到 b 點,作用在保守力上的勢能變化定義為
\[\Delta U=U_{B}-U_{A}=-\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{s}}=-W \]
與勢能密切相關的一個概念是“勢”。由此,引力勢可得為
\[\Delta V_{g}=\frac{\Delta U_{g}}{m}=-\int_{A}^{B}\left(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{g} / m\right) \cdot d \overrightarrow{\mathbf{s}}=-\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{g}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{s}} \]
- 表示每單位質量的重力使一個粒子移動所做的功的負值
那么反觀電勢,是不是可以理解為,從無窮遠處到該點,單位電荷所要做的功。
那么電勢能和電勢的關系就很明顯了
\[\Delta W=q_{0} \Delta \varphi \]
例如,電勢為0的含義為
- 一個電荷,從無窮遠處走到那個平面 到達的時候,所做的功為 0
- 沿等勢面移動質點不需要做功。
此外,因為物體喜歡從高勢能移動到低勢能,只要勢能不恆定,物體就會感受到一個力,這個力的方向使它的勢能降低。從數學上說,等於
\[\overrightarrow{\mathbf{F}}=-\nabla U\\\nabla \equiv \frac{\partial}{\partial x} \hat{\mathbf{i}}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{\mathbf{j}}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{\mathbf{k}} \]
如上,電勢只是被引入來表示勢能的變化,其本身並沒有真正的含義。