2020ICPC沈陽站 D-Journey to Un'Goro

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題目大意：
給定一個整數\(n(n\leq 1e5)\)表示一個只由字符\(r\)和\(b\)構成的字符串序列的長度，對於該序列的任意一個子序列，當該子序列中\(r\)的個數為奇數時，則稱該子序列為“滿意”。要求構造一系列這樣的字符串序列使得其中“滿意”的子序列個數最大，輸出最大個數，另外，這樣的序列一般不唯一，題目要求按字典序輸出前\(100\)個構造的序列。

題解：
這里要從序列前綴中\(r\)個數的奇偶性上去考慮。

設\(P_i\)表示長度為\(i\)的字符序列前綴中\(r\)的個數，那么由題意可知子序列\((i, j)\)中\(r\)的個數為\(P_j - P_{i-1}\)，當且僅當\(P_j\)與\(P_i-1\)的奇偶性不同時，\(P_j-P_{i-1}\)為奇數。

那么題目就轉化為構造這樣的字符串序列，使得序列\(P_0, P_1, P_2...P_n\)​中滿足\(P_i\)和\(P_j\)的奇偶性不同的對數最大，設序列\(P_0, P_1, P_2...P_n\)​中奇數個數為\(X\)，偶數個數為\(Y\)，則滿足\(P_i\)和\(P_j\)的奇偶性不同的對數為\(XY\)，很容易想明白\(XY=\lfloor(n+1)/2\rfloor\times\lceil(n+1)/2\rceil\)，其實就是\(X\)和\(Y\)各取一半時乘積最大。

而同時發現題目只要求輸出前\(100\)個序列，因此可以搜索+剪枝過掉，在\(dfs\)時分別記錄當前偶數個數\(cnt_0\)和奇數個數\(cnt_1\)，當\(max\{cnt_0,cnt_1\}>\lceil(n+1)/2\rceil\)時就剪掉。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int n, cnt, limit;
char S[100010];

void dfs(int k, int cnt0, int cnt1, bool st) {
    if (cnt0 > limit || cnt1 > limit) return;
    if (k == n) {
        printf("%s\n", S);
        if (++cnt >= 100) exit(0);
        return;
    }
    S[k] = 'b';
    dfs(k + 1, cnt0 + (st ^ 1), cnt1 + st, st);
    st ^= 1;
    S[k] = 'r';
    dfs(k + 1, cnt0 + (st ^ 1), cnt1 + st, st);
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    long long ans = 1ll * ((n + 1) / 2) * ((n + 2) / 2);
    limit = (n + 2) / 2;
    printf("%lld\n", ans);
    dfs(0, 1, 0, 0);
    return 0;
}