昨天 在 數學吧 看到一個 帖 《我真是無語了，居然有這樣的證明，明明是先有x和sinx是等價無窮小》 https://tieba.baidu.com/p/7513639815
推導一下 ( sin x ) ′ = cos x ， 天辯阮幼台 （陳彼方）， 來一個 ？
因為 圓 的 對稱性， 圓周運動 成為了 主要定理 的 發源地 之一 。 圓周運動 中 涉及 到 圓弧 和 各種 弦 、徑， 曲直交匯互動 。
小時候 以為 三角函數 是 三角形 的， 長大了 了解了一些 高等一點 的 數學 （和 物理 ？） 才知道 三角函數 是 圓周運動 的 。
據說 傅里葉級數 也是 圓周運動 。
可以 設計一個 轉盤 曲軸 連桿 什么的 裝置， 輸出 機械正弦波 ， 你 在 這里 搖動 把手 轉動轉盤， 那邊 連桿 帶動 一個 小球 什么的 運動， 小球 又 帶動 一根 繩子， 小球 運動 讓 繩子 “抖起來” ， 繩子 抖動 的 波形 就是 正弦波， 這樣 就 輸出 正弦波 了 。 也可以 把 小球 放在 水 里 ， 用 水波 來 輸出 正弦波， 也就是 正弦水波 。
傅里葉級數 也可以 用 類似 的 裝置 來 輸出 為 機械波 。
( sin x ) ′ = cos x 是 微積分 大廈 里 的 一個 重要 的 軸承 、支點 、主動力軸 、螺絲釘 。
通過 ( sin x ) ′ = cos x 可以知道 ʃ cos x dx = sin x ， 也可以知道 ( cos x ) ′ = - sin x 和 ʃ sin x dx = - cos x 。
這就知道了 sinx 和 cos x 的 積分， 包括 原函數 和 定積分， 這 可 不得了 。
積分 是 比較難 推導 的 ， 用 數列和 極限 的 方法 只能 推導出 少數 簡單 和 特例 的 積分 。
你 用 數列和 極限 推導 sin x 的 （定）積分 試試 …… ？
sin x 的 導數 是 cos x ， cos x 的 原函數 是 sin x ， 這 很 神奇， 很 巧合， 意料之外， 情理之中 。
出乎 我 的 意料， 但從 推導過程 上 看， 在 情理 上 又 很容易 的 接受 了 ， 這 大概 就是 圓周運動（圓） 的 對稱性 基本性 優美和諧 吧 。
分式積分 和 自然對數 有關，
根式積分 和 ( sin x ) ′ = cos x 有關，
橢圓積分 可以 用 ( sin x ) ′ = cos x 變形 和 求出 一些 積分項 的 積分 ，
二體問題 的 經典解法 全盤 和 ( sin x ) ′ = cos x 相關 ，
簡單的 勻加速 / 變加速 / 曲線 / 相遇 運動 和 ( sin x ) ′ = cos x 相關 。
( sin x ) ′ = cos x 為 微積分 的 發展 打開了一道 大門 。
歐拉公式 和 傅里葉級數 也 發乎 ( sin x ) ′ = cos x 。
“歐拉公式 和 傅里葉級數 也 發乎 ( sin x ) ′ = cos x 。” 這句話 是 我 隨便 說 的 。
我 估計 當初 最早 推導出 ( sin x ) ′ = cos x 的 數學家 肯定 內心 狂喜 ， 心中 充滿了 建設 微積分 大廈 的 憧憬 信心 和 構想 。