1 空間濾波

1.1 濾波過程

如圖，Filter 是一個 3x3 濾波核，當它從圖像的左上角開始，逐個像素沿水平方向掃描，最后到右下角時，便會產生濾波后的圖像

假設輸入圖像 $f(x, y)$，濾波后的圖像為 $g(x, y)$，則其中 $g(2,2)$ 和 $g(4,4)$ 的計算過程如下：

上圖中，以像素 (4,4) 為中心的 3x3 鄰域，和濾波核的向量點乘之積，即為 g(4,4)

g(4,4) = 240*0.1111 + 183*0.1111 + 0*0.1111 + 250*0.1111 + 12*0.1111 + 87*0.1111 + 255*0.1111 + 1*0.1111 + 94*0.1111

= 26.6666 + 20.3333 + 0 + 27.7777 + 1.3333 + 9.6666 + 28.3333 + 0 + 10.4444

= 124.55

1.2 相關和卷積

空間濾波中，相關和卷積，是容易混淆的概念，定義如下：

- 相關 (Correlation)，和上述的濾波過程一樣，即濾波核逐行掃描圖像，並計算每個位置像素點積的過程

- 卷積 (Convolution)，和 "相關" 過程類似，但濾波核要先旋轉 180°，然后再執行和 “相關” 一樣的操作

(二維中的旋轉 180°，等於濾波核沿一個坐標軸翻轉，然后再沿另一個坐標軸翻轉）

注意：如果濾波核是對稱的，則對圖像進行相關和卷積的結果是一致的

2 OpenCV 函數

2.1 filter2D()

在 OpenCV 中，可自定義濾波核，然后通過 filter2D() 來完成圖像濾波

 void filter2D(
     InputArray     src,              // 輸入圖像 
     OutputArray    dst,              // 輸出圖像(大小和通道數，同 src)
     int            ddepth,           // 輸出圖像的 depth
     InputArray     kernel,           // 濾波核，准確地說，是相關核
     Point  anchor = Point(-1,-1),    // 錨點位置，濾波核尺寸為奇數時，不用指定，一般取默認值 Point(-1,-1)；濾波核尺寸為偶數時，需指定錨點位置
     double             delta = 0,    // optional value added to the filtered pixels before storing them in dst      
     int borderType = BORDER_DEFAULT  // 邊界處理方法
 );

filter2D() 求的是相關，並非卷積，只有當濾波核對稱時，filte2D() 才可視為卷積運算，其公式如下：

$\quad dst(x, y) = \sum \limits_{0 \leq x' <kernel.cols, \\ 0 \leq y'<kernel.rows} \: kernel(x', y') * src(x+x'-anchor.x, \; y+y'-anchor.y) $

假定濾波核 kernel 大小為 3x3，以一個像素點 src(4,4) 為例，則有：

dst(4,4) = kernel(0,0)*src(4+0-1, 4+0-1) + kernel(0,1)*src(4+0-1, 4+1-1) + kernel(0,2)*src(4+0-1, 4+2-1)

+ kernel(1,0)*src(4+1-1, 4+0-1) + kernel(1,1)*src(4+1-1, 4+1-1) + kernel(1,2)*src(4+1-1, 4+2-1)

+ kernel(2,0)*src(4+2-1, 4+0-1) + kernel(2,1)*src(4+2-1, 4+1-1) + kernel(2,2)*src(4+2-1, 4+2-1)

濾波核與輸入圖像的卷積點乘，對應關系如下：

2.2 flip()

當濾波核不對稱時，要得到真正的卷積運算，還需 flip() 函數來完成 kernel 的二維翻轉

  void flip(
      InputArray  src,  // input array
      OutputArray dst,  // output array
      int    flipCode   // 0, flip around x-axis; positive value, flip around y-axis; negative value, flip around both axes.
  );

如果濾波核的大小為奇數，則 filter2D() 中的錨點位置可設為 Point(-1,-1)，此時，默認濾波核的中心為錨點；如果濾波核的大小為偶數，則需要自定義錨點位置

OpenCV 中錨點位置的實現函數 normalizeAnchor() 如下：

  static inline Point normalizeAnchor(Point anchor, Size ksize)
  {
      if (anchor.x == -1)
          anchor.x = ksize.width / 2;
      if (anchor.y == -1)
          anchor.y = ksize.height / 2;
      CV_Assert(anchor.inside(Rect(0, 0, ksize.width, ksize.height)));
      return anchor;
  }

3 代碼示例

3.1 偏導數

自定義濾波核，利用 filter2D() 函數，實現圖像的一階和二階偏導運算

1) 一階偏導

圖像在 x 和 y 方向的一階偏導如下：

$\quad \frac {\partial f}{\partial x} = f(x+1,y) - f(x,y)$

$\quad \frac {\partial f}{\partial y} = f(x, y+1) - f(x, y)$

對應濾波核為 $K_{x} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \end{bmatrix} $，$K_{y} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $

2) 二階偏導

同樣，在 x 和 y 方向的二階偏導如下：

$\quad \frac {\partial f^2} {\partial x^2} = f(x+1, y) + f(x-1, y)- 2f(x,y)$

$\quad \frac {\partial f^2}{\partial y^2} = f(x, y+1) + f(x, y-1)- 2f(x,y)$

$\quad \frac {\partial f^2}{\partial x \partial y} = f(x+1, y+1) - f(x+1, y) - f(x, y+1)+ f(x,y)$

對應濾波核為 $K_{xx} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} $，$K_{yy} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} $，$K_{xy} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} $

3.2 代碼示例

#include "opencv2/imgproc.hpp"
#include "opencv2/highgui.hpp"

using namespace cv;

int main()
{
    // 讀取圖像
    Mat src = imread("fangtze.jpg", IMREAD_GRAYSCALE);
    if (src.empty()) {
        return -1;
    }

    Mat kx = (Mat_<float>(1, 2) << -1, 1);  // 1行2列的 dx 濾波核
    Mat ky = (Mat_<float>(2, 1) << -1, 1);  // 2行1列的 dy 濾波核

    Mat kxx = (Mat_<float>(1, 3) << 1, -2, 1);     // 1行3列的 dxx 濾波核
    Mat kyy = (Mat_<float>(3, 1) << 1, -2, 1);     // 3行1列的 dyy 濾波核
    Mat kxy = (Mat_<float>(2, 2) << 1, -1, -1, 1); // 2行2列的 dxy 濾波核

    // 一階偏導
    Mat dx, dy;
    filter2D(src, dx, CV_32FC1, kx);
    filter2D(src, dy, CV_32FC1, ky);

    // 二階偏導
    Mat dxx, dyy, dxy;
    filter2D(src, dxx, CV_32FC1, kxx);
    filter2D(src, dyy, CV_32FC1, kyy);
    filter2D(src, dxy, CV_32FC1, kxy);

    // 顯示圖像
    imshow("dx", dx);

    waitKey();
}

輸出的偏導圖像如下，第一行從左到右：原圖 - dx - dy；第二行從左至右：dxy - dxx -dyy