An ugly number is a positive integer that is divisible by a, b, or c.
Given four integers n, a, b, and c, return the nth ugly number.
Example 1:
Input: n = 3, a = 2, b = 3, c = 5
Output: 4
Explanation: The ugly numbers are 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10... The 3rd is 4.
Example 2:
Input: n = 4, a = 2, b = 3, c = 4
Output: 6
Explanation: The ugly numbers are 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12... The 4th is 6.
Example 3:
Input: n = 5, a = 2, b = 11, c = 13
Output: 10
Explanation: The ugly numbers are 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13... The 5th is 10.
Example 4:
Input: n = 1000000000, a = 2, b = 217983653, c = 336916467
Output: 1999999984
Constraints:
1 <= n, a, b, c <= 10^91 <= a * b * c <= 10^18- It is guaranteed that the result will be in range
[1, 2 * 10^9].
這道題是丑陋數系列的第三道題，前兩道分別是 Ugly Number II 和 Ugly Number。這里可能有的童鞋會說這不就是把第二道中的 2，3，和5換成了這里的 a，b，和c么，就想着直接套用前一道的方法來做。然而這道題的丑陋數和之前兩道的定義卻不太相同，之前兩道定義的丑陋數是只有質數因子 2，3，5 的數字，而這里定義的是可以被 a，b，和c整除的數字，就更為寬泛了，只要能被 a，b，和c中的任意一個或多個整除的數字都是丑陋數，不管還能不能被其他別的數字整除。對於 [1, num] 范圍內的整數，能被a整除的數字的個數為 num/a，而能被a或b整除的數字卻不是 num/a + num/b，因為會存在同時被a和b整除的數字，若a和b是兩個質數，比如2和3，那么就是 num/a + num/b - num/ab，但a和b不一定互質的兩個數字，可能含有共同的非1因子，所以更為嚴謹的寫法就是 num/a + num/b - num/lcm(a,b)，這里的 lcm 指的是最小公倍數 Least Common Multiple，小學數學里應該都學過。同理，對於 [1, num] 范圍內的整數，能被a，b，或c整除的數字的個數為 num/a + num/b + num/c - num/lcm(a,b) - num/lcm(b,c) - num/lcm(a,c) + num/lcm(a,b,c)，同時腦海中可以出現那個經典的三圓相交的圖形，論壇上的帖子也有這個圖形。
這里的最小公倍數用代碼怎么求呢，還是通過小學數學知識，兩個數字的最小公倍數等於二者之積除以最大公約數 Greatest Common Divisor。而求 gcd 在之前的題目中就用過了，比如 Max Points on a Line，甚至還有求字符串 gcd 的題目 Greatest Common Divisor of Strings。既然能有一個公式可以快速的計算出某個范圍內丑陋數的總個數，而且題目也給了所求結果的范圍 [1, 2 * 10^9]，用二分搜索法簡直是再合適不過了，這是博主之前的總結帖 LeetCode Binary Search Summary 二分搜索法小結 中的第四類。確定了 left 和 right 的初始范圍之后，就可以折中求出 mid 了，然后代入上面的公式求出 [1, mid] 范圍內共有 cnt 個丑陋數字，並用 cnt 和給定的n進行比較，若 cnt 小於n，則 left 更新為 mid+1，反之，right 更新為 mid，最終返回 right 即可，參見代碼如下：
class Solution {
public:
int nthUglyNumber(int n, int a, int b, int c) {
int left = 0, right = 2e9;
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
int cnt = mid / a + mid / b + mid / c - mid / lcm(a, b) - mid / lcm(b, c) - mid / lcm(a, c) + mid / lcm(a, lcm(b, c));
if (cnt < n) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid;
}
}
return right;
}
long gcd(long a, long b) {
return a == 0 ? b : gcd(b % a, a);
}
long lcm(long a, long b) {
return a * b / gcd(a, b);
}
};
Github 同步地址:
https://github.com/grandyang/leetcode/issues/1201
類似題目：
參考資料：
https://leetcode.com/problems/ugly-number-iii/