一、題目
這道題考試時候打了縮點，然后一無所獲，雖然想出了那個超級神奇的構造方法。
還是不要思維定式啊，我以為難的圖論題一定要縮點，但是我從來一打縮點就爆炸。
二、解法
比較傳統的樹上二選一構造問題，根據套路任何情況一定有解。
直接考慮 \(\tt dfs\) 樹，葉子之間一定無邊，如果有 \(\geq\lfloor\frac{n}{3}\rfloor\) 個葉子（不考慮根），那么我們找到解。
那么有葉子數量 \(<\lfloor\frac{n}{3}\rfloor\)，考慮根是葉子也只有至多 \(\lfloor\frac{n}{3}\rfloor\) 個點，那么我們把它們兩兩匹配得到路徑至多有 \(\lceil\frac{n}{6}\rceil\) 條。
現在問題轉化成了構造一個葉子的匹配，使得樹上所有點都被覆蓋。我的方法：把所有葉子按 \(\tt dfs\) 序排序，設一共有 \(k\) 個葉子（如果 \(k\) 是奇數那么我們補上根），然后 \(i\) 和 \(i+\frac{k}{2}\) 匹配。
已經過了，跪求上面葉子匹配構造方法的正確性證明。
UPD：有一個巨佬在我的博客下面評論了證明，我覺得他的證明是對的。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int M = 1005;
int read()
{
int x=0,f=1;char c;
while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
return x*f;
}
int n,m,k,tot,Ind,cnt,f[M],dfn[M];
int fa[M],id[M],dep[M],a[M],b[M];
struct edge
{
int v,next;
}e[M*M];
void dfs(int u)
{
dfn[u]=++Ind;int sz=0;
dep[u]=dep[fa[u]]+1;
for(int i=f[u];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].v;
if(dfn[v]) continue;
fa[v]=u;dfs(v);
sz++;
}
if(sz==0 || (sz==1 && u==1))
id[++k]=u;
}
int cmp(int x,int y)
{
return dfn[x]<dfn[y];
}
void match(int u,int v)
{
int t1=0,t2=0;cnt++;
while(u!=v)
{
if(dep[u]>dep[v])
a[++t1]=u,u=fa[u];
else
b[++t2]=v,v=fa[v];
}
a[++t1]=u;
printf("%d ",t1+t2);
for(int i=1;i<=t1;i++)
printf("%d ",a[i]);
for(int i=t2;i>=1;i--)
printf("%d ",b[i]);
puts("");
}
signed main()
{
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u=read(),v=read();
e[++tot]=edge{v,f[u]},f[u]=tot;
e[++tot]=edge{u,f[v]},f[v]=tot;
}
dfs(1);int fl=0;
if(id[k]==1) k--,fl=1;
if(k>=n/3)
{
puts("2");
for(int i=1;i<=n/3;i++)
printf("%d ",id[i]);
puts("");
return 0;
}
if(fl==1) id[++k]=1;
if(k%2) id[++k]=1;
sort(id+1,id+1+k,cmp);
puts("1");
for(int i=1;i<=k/2;i++)
match(id[i],id[i+k/2]);
for(int i=2;i<=n;i++)
if(cnt<(n+5)/6)
{
printf("%d %d\n",1,i);
cnt++;
}
}