直角三角形專題整理


四邊形中的直角三角形

直角梯形

一般只有直角梯形才會出現直角三角形的情況 像這道例題:
k

在特殊情況下(上底+下底=直角腰可以構造全等)可以在梯形內部構造三垂直:

k

連結直角梯形的對角線可能會形成等邊三角形:

k

一般輔助線:

1. 倍長中線(非直角邊的那一個腰上的中線,可以形成直角三角形)

2. 連結對角線

3. 構造三垂直

長方形

和正方形類似,如果從長方形中一點向四條邊做垂線,並連結對角線,形成直角三角形之后可以使用勾股定理將每條邊算出

k

一般輔助線:

1. 旋轉

2. 從正方形內一點向4條邊做垂線,用勾股定理算長度

3. 翻折

4. 連接對角線

正方形

在正方形中,把在正方形內的一條邊旋轉出去,由於正方形四個角都是 \(90^\circ\) ,可能會形成\(RT \triangle\)
k

一般輔助線:

1. 旋轉

2. 從正方形內一點向4條邊做垂線,用勾股定理算長度

3. 對角線(互相平分且垂直)

4.對角線連結形成的4個等腰 \(Rt \triangle\)

直角三角形

普通直角三角形

下面這道例題是一道非常典型的構造直角三角形的題目
k

射影模型

k

根據“射影模型”構造 $ RT \triangle$
k

做其中一條直角邊的平行線,做出來的小直角三角形與原來大直角三角形的邊對應成比例,角對應相等

k

斜邊中線定理

k

一般輔助線:

1. 倍長中線

2. 斜邊中線

3. 勾股定理

4. \(H L\)

5. 三垂直

6. 雙高

7. 射影定理

等腰直角三角形

普通等腰 \(Rt \triangle\) 的方法許多都在這道例題里面了:
k

有兩個等腰 \(Rt \triangle\) 頂點重合時,可能會形成手拉手模型:

k

一般輔助線:

1. 倍長中線

2. 從頂點做底邊的垂線,形成斜邊中線

3. 如果中間有一個 \(45^\circ\) 的角可以形成夾半角模型

4. 構造成其他三角形。

5.兩個等腰\(Rt \triangle\) 只要有一條邊對應相等,就全等。

有30°角的直角三角形

這道題把幾乎所有的有 \(30^\circ\) 角的 \(RT \triangle\) 的考點都出了:

k

一般輔助線:

1. 連接斜邊上的中線(30°所對的直角邊是斜邊的一半),形成等邊三角形

2. 倍長中線(形成矩形)

3. 斜邊的垂直平分線

其他

如果其他不規則圖形中包含直角,可以將這個直角旁邊的兩個頂點連結,構成直角三角形。

k


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