假設檢驗問題:
- 總體的分布未知
- 類型未知
- 參數未知
- 對總體分布(未知)的某種推斷,-假設
- 提出假設:
- 原假設(零假設)-一般沒有足夠的理由否定的原問題
- 備擇假設(對立假設)-和原問題對立的假設
假設檢驗的概念:
- 對總體分布的論斷就是假設檢驗
- 假設檢驗:檢驗假設成立與否的過程, 利用樣本信息加以檢驗
- 假設檢驗問題:
- 顯著性假設檢驗問題-唯一假設H0
- H0對H1假設檢驗問題
- 思想: 構造統計量T(在H0成立的情況下)→T的分布, 檢驗得到↔P{T←I}=α(小)
- P{(X1,...Xn)€W} = α (W:叫做H0的拒絕域)
- P{(X1,...Xn)€W'} = 1-α (W':叫做H0的接受域)
- 步驟:
- 提出原假設H0, H1
- 假定H0成立, 取統計量T, 分布已知
- 對於給定的α, 找到P{(X1,...Xn)€W} = α
- 給出的樣本數據, 由樣本值(x1,...xn)求出統計量T的值.
- (x1,..,xn)€W→拒絕H0
- (x1,..,xn)€W'→接受H0
兩類錯誤:
- 第一類錯誤: 棄真
- P{拒絕H0|H0為真} = α
- 第二類錯誤: 納偽(取偽)
- P{接受H0|H0偽假} = β
| 決策 | H0為真 | H0為假 |
| 接受H0 | 正確決策(1-α) | 納偽(β) |
| 拒絕H0 | 棄真(α) | 正確決策(1-β) |
一個正太總體的參數假設檢驗
- σ2=σ02, 檢驗μ=μ0, →U檢驗
- X~N(μ, σ2), (X1,X2,...,Xn)取自X的樣本, 檢驗率:α, σ2=σ02已知, 檢驗H0: μ=μ0
- 第一步: H0: μ=μ0, H1: μ≠μ0
- 第二步: 假定H0成立, X ~ N(μ0, σ02)→取統計量U = (X'-μ0)/(σ0/n½) ~ N(0,1)
- 第三部: 給定義, 由P{|U|>Uα/2}=α→Uα/2
- 拒絕域: W = {(x1,...,xn)| |U|>Uα/2}
- 接受域: W' = {(x1,...,xn)| |U|<Uα/2}
- 第四步:計算U的值|U|與Uα/2比較
- σ2未知, 檢驗μ=μ0, T檢驗法
- 第一步: H0: μ=μ0, H1: μ≠μ0
- 第二步: 假定H0成立, 取T = (X'-μ0)/(S/n½) ~ t(n-1)
- 拒絕域: W = {(x1,...xn| |t|>tα/2(n-1))}
- 第四步: 計算T的值 將|t|與tα/2(n-1)比較
| 檢驗法 | 假設 | 檢驗法計算及分布 | 拒絕域W |
| U檢驗法 σ2=σ02 |
H0:μ=μ0, H1: μ=μ0 |
u= (X'-μ0)/(σ0/n½) ~ N(0,1) | |U|>Uα/2 |
| H0: μ≤μ0, H: μ>μ0 | U>Uα | ||
| H0: μ≥μ0, H1:μ<μ0 | U<-Uα | ||
| T檢驗法, σ2未知 | H0:μ=μ0, H1: μ=μ0 | T =(X'-μ0)/(S/n½) ~ t(n-1) | |t| > t(α/2)(n-1) |
| H0: μ≤μ0, H: μ>μ0 | t > tα(n-1) | ||
| H0: μ≥μ0, H1:μ<μ0 | t<tα(n-1) |
σ2的假設檢驗:
- 當μ已知, σ2=σ02步驟:
- 第一步: H0: σ2=σ02, H1:σ2≠σ02
- 第二步: 假定H0成立, X ~ N(μ0,σ02), x1,...,xn是樣本, 取統計量X2 (卡方分布)= [Σ(Xi-μ0)2]/σ02 ~ X2(n) →卡方分布
- 第三步: 給定α, 由P{X2>X2α/2(n)}=P{X2<X21-α/2(n)} = α/2
- 第四步: 計算X2的值, 比較
當μ未知, 步驟:
- 第一步: H0: σ2=σ02, H1:σ2≠σ02
- 第二步: 假定H0成立, X ~ N(μ0,σ02), x1,...,xn是樣本, 取統計量X2 (卡方分布)= [Σ(Xi-X'(均值))2]/σ02 ~ X2(n-1) →卡方分布
- 第三步: 給定α, 由P{X2>X2α/2(n-1)}=P{X2<X21-α/2(n-1)} = α/2
- 第四步: 計算X2的值, 比較
| 檢驗法 | 假設 | 統計量及分布 | 拒絕域W |
| X2檢驗(卡方分布) (μ=μ0已知) |
H0: σ2=σ02, H1: σ2≠σ02 | X2 = [Σ(Xi-μ0)2]/σ02 ~ X2(n) | X2>x2α/2或X2<X21-α/2(n) |
| H0: σ2≤σ02, H1: σ2>σ02 | X2>Xα2(n) | ||
| H0: σ2≥σ02, H1: σ2<σ02 | X2<X1-α2 (n) | ||
| X2檢驗(卡方分布) (μ=μ0未知) |
H0: σ2=σ02, H1: σ2≠σ02 | X2 = [(n-1)S2]/σ02 ~ X2((n-1) X2 = Σ(Xi-X')2/σ02 |
X2>x2α/2或X2<X21-α/2(n-1) |
| H0: σ2≤σ02, H1: σ2>σ02 | X2>Xα2(n-1) | ||
| H0: σ2≥σ02, H1: σ2<σ02 | X2<X1-α2 (n-1) |
兩個正太總體的參數假設檢驗
- 兩個正態總體均值差異性檢驗
- 步驟
- 當σ12, σ22已知, 檢驗H0:μ1=μ2
- 第一步: 提出H0:μ1=μ2, H1: μ1≠μ2
- 第二步: 假定H0成立, 取U = (X'-Y')/(σ12/n1 + σ22/n2) ~ N(0,1)
- 第三步: 給定α, 由P{|U|>Uα/2} = α, Uα/2→W={(x1,...xn)| |U|>Uα/2}, {(y1,...,yn)| |U|>Uα/2}
- 第四步: 計算 |U| |U|與Uα/2比較
- 步驟
- 方差σ12, σ22的差異性檢驗
- 步驟:
- 當σ12, σ22已知, 檢驗H0:μ1=μ2
- 第一步: 提出H0:μ1=μ2, H1: μ1≠μ2
- 第二步: 假定H0成立, 取T = (X'-Y')/{[(n1-1)S12+(n2-1)S22]/(n1+n2-2)}½· (1/n1+1/n2)½
- 給定α, 由P{|T|>tα/2} = α, tα/2→W={(x1,...xn)| |t|>tα/2}, {(y1,...,yn)| |t|>tα/2}
- 計算 |T| |T|與tα/2比較
- 步驟:
| 檢驗法 | 假設 | 統計量及分布 | 拒絕域W |
| U檢驗 (σ12,σ22已知) |
H0: μ1=μ2, H1: μ1≠μ2 | U = (X'-Y')/(σ12/n1+σ22/n2)½ ~ N(0,1) | |U|>Uα/2 |
| H0: μ1≤μ2, H1: μ1>μ2 | U>Uα | ||
| H0: μ1≥μ2, H1: μ1<μ2 | U<-Uα | ||
| T檢驗 (σ12=σ22=σ2未知) |
H0: μ1=μ2, H1: μ1≠μ2 | T = (X'-Y')/{[(n1-1)S12+(n2-1)S22]/(n1+n2-2)}½(1/n1+1/n2-2)½ | |t|>tα/2(n1+n2-2) |
| H0: μ1≤μ2, H1: μ1>μ2 | t>tα(n1+n2-2) | ||
| H0: μ1≥μ2, H1: μ1<μ2 | t<-tα(n1+n2-2) |
總體方差σ12, σ22的差異性檢驗
- μ1, μ2都未知, 檢驗H0: σ12=σ22
- 第一步: 提出H0: σ12=σ22, H1: σ12≠σ22
- 第二步: 假定H0成立, 取F = S12/S22 ~ F(n1-1, n2-1)
- 第三步: 給定義 由P{F>Fα/2} = P{F<F1-α/2} = α/2, W = {(x1,...,xn)|f>fα/2(n1-1,n2-1)}或f<f1-α/2(n1-1, n2-1)
- 第四步: 計算F的值與fα/2比較