數據結構與算法_18 _ 散列表（上）：Word文檔中的單詞拼寫檢查功能是如何實現的？

Word這種文本編輯器你平時應該經常用吧，那你有沒有留意過它的拼寫檢查功能呢？一旦我們在Word里輸入一個錯誤的英文單詞，它就會用標紅的方式提示“拼寫錯誤”。Word的這個單詞拼寫檢查功能，雖然很小但卻非常實用。你有沒有想過，這個功能是如何實現的呢？

其實啊，一點兒都不難。只要你學完今天的內容，散列表（Hash Table）。你就能像微軟Office的工程師一樣，輕松實現這個功能。

散列思想

散列表的英文叫“Hash Table”，我們平時也叫它“哈希表”或者“Hash表”，你一定也經常聽過它，我在前面的文章里，也不止一次提到過，但是你是不是真的理解這種數據結構呢？

散列表用的是數組支持按照下標隨機訪問數據的特性，所以散列表其實就是數組的一種擴展，由數組演化而來。可以說，如果沒有數組，就沒有散列表。

我用一個例子來解釋一下。假如我們有89名選手參加學校運動會。為了方便記錄成績，每個選手胸前都會貼上自己的參賽號碼。這89名選手的編號依次是1到89。現在我們希望編程實現這樣一個功能，通過編號快速找到對應的選手信息。你會怎么做呢？

我們可以把這89名選手的信息放在數組里。編號為1的選手，我們放到數組中下標為1的位置；編號為2的選手，我們放到數組中下標為2的位置。以此類推，編號為k的選手放到數組中下標為k的位置。

因為參賽編號跟數組下標一一對應，當我們需要查詢參賽編號為x的選手的時候，我們只需要將下標為x的數組元素取出來就可以了，時間復雜度就是O(1)。這樣按照編號查找選手信息，效率是不是很高？

實際上，這個例子已經用到了散列的思想。在這個例子里，參賽編號是自然數，並且與數組的下標形成一一映射，所以利用數組支持根據下標隨機訪問的時候，時間復雜度是O(1)這一特性，就可以實現快速查找編號對應的選手信息。

你可能要說了，這個例子中蘊含的散列思想還不夠明顯，那我來改造一下這個例子。

假設校長說，參賽編號不能設置得這么簡單，要加上年級、班級這些更詳細的信息，所以我們把編號的規則稍微修改了一下，用6位數字來表示。比如051167，其中，前兩位05表示年級，中間兩位11表示班級，最后兩位還是原來的編號1到89。這個時候我們該如何存儲選手信息，才能夠支持通過編號來快速查找選手信息呢？

思路還是跟前面類似。盡管我們不能直接把編號作為數組下標，但我們可以截取參賽編號的后兩位作為數組下標，來存取選手信息數據。當通過參賽編號查詢選手信息的時候，我們用同樣的方法，取參賽編號的后兩位，作為數組下標，來讀取數組中的數據。

這就是典型的散列思想。其中，參賽選手的編號我們叫做鍵（key）或者關鍵字。我們用它來標識一個選手。我們把參賽編號轉化為數組下標的映射方法就叫作散列函數（或“Hash函數”“哈希函數”），而散列函數計算得到的值就叫作散列值（或“Hash值”“哈希值”）。

通過這個例子，我們可以總結出這樣的規律：散列表用的就是數組支持按照下標隨機訪問的時候，時間復雜度是O(1)的特性。我們通過散列函數把元素的鍵值映射為下標，然后將數據存儲在數組中對應下標的位置。當我們按照鍵值查詢元素時，我們用同樣的散列函數，將鍵值轉化數組下標，從對應的數組下標的位置取數據。

散列函數

從上面的例子我們可以看到，散列函數在散列表中起着非常關鍵的作用。現在我們就來學習下散列函數。

散列函數，顧名思義，它是一個函數。我們可以把它定義成hash(key)，其中key表示元素的鍵值，hash(key)的值表示經過散列函數計算得到的散列值。

那第一個例子中，編號就是數組下標，所以hash(key)就等於key。改造后的例子，寫成散列函數稍微有點復雜。我用偽代碼將它寫成函數就是下面這樣：

int hash(String key) {
  // 獲取后兩位字符
  string lastTwoChars = key.substr(length-2, length);
  // 將后兩位字符轉換為整數
  int hashValue = convert lastTwoChas to int-type;
  return hashValue;
}

剛剛舉的學校運動會的例子，散列函數比較簡單，也比較容易想到。但是，如果參賽選手的編號是隨機生成的6位數字，又或者用的是a到z之間的字符串，該如何構造散列函數呢？我總結了三點散列函數設計的基本要求：

1. 散列函數計算得到的散列值是一個非負整數；

2. 如果key1 = key2，那hash(key1) == hash(key2)；

3. 如果key1 ≠ key2，那hash(key1) ≠ hash(key2)。

我來解釋一下這三點。其中，第一點理解起來應該沒有任何問題。因為數組下標是從0開始的，所以散列函數生成的散列值也要是非負整數。第二點也很好理解。相同的key，經過散列函數得到的散列值也應該是相同的。

第三點理解起來可能會有問題，我着重說一下。這個要求看起來合情合理，但是在真實的情況下，要想找到一個不同的key對應的散列值都不一樣的散列函數，幾乎是不可能的。即便像業界著名的MD5、SHA、CRC等哈希算法，也無法完全避免這種散列沖突。而且，因為數組的存儲空間有限，也會加大散列沖突的概率。

所以我們幾乎無法找到一個完美的無沖突的散列函數，即便能找到，付出的時間成本、計算成本也是很大的，所以針對散列沖突問題，我們需要通過其他途徑來解決。

散列沖突

再好的散列函數也無法避免散列沖突。那究竟該如何解決散列沖突問題呢？我們常用的散列沖突解決方法有兩類，開放尋址法（open addressing）和鏈表法（chaining）。

1.開放尋址法

開放尋址法的核心思想是，如果出現了散列沖突，我們就重新探測一個空閑位置，將其插入。那如何重新探測新的位置呢？我先講一個比較簡單的探測方法，線性探測（Linear Probing）。

當我們往散列表中插入數據時，如果某個數據經過散列函數散列之后，存儲位置已經被占用了，我們就從當前位置開始，依次往后查找，看是否有空閑位置，直到找到為止。

我說的可能比較抽象，我舉一個例子具體給你說明一下。這里面黃色的色塊表示空閑位置，橙色的色塊表示已經存儲了數據。

從圖中可以看出，散列表的大小為10，在元素x插入散列表之前，已經6個元素插入到散列表中。x經過Hash算法之后，被散列到位置下標為7的位置，但是這個位置已經有數據了，所以就產生了沖突。於是我們就順序地往后一個一個找，看有沒有空閑的位置，遍歷到尾部都沒有找到空閑的位置，於是我們再從表頭開始找，直到找到空閑位置2，於是將其插入到這個位置。

在散列表中查找元素的過程有點兒類似插入過程。我們通過散列函數求出要查找元素的鍵值對應的散列值，然后比較數組中下標為散列值的元素和要查找的元素。如果相等，則說明就是我們要找的元素；否則就順序往后依次查找。如果遍歷到數組中的空閑位置，還沒有找到，就說明要查找的元素並沒有在散列表中。

散列表跟數組一樣，不僅支持插入、查找操作，還支持刪除操作。對於使用線性探測法解決沖突的散列表，刪除操作稍微有些特別。我們不能單純地把要刪除的元素設置為空。這是為什么呢？

還記得我們剛講的查找操作嗎？在查找的時候，一旦我們通過線性探測方法，找到一個空閑位置，我們就可以認定散列表中不存在這個數據。但是，如果這個空閑位置是我們后來刪除的，就會導致原來的查找算法失效。本來存在的數據，會被認定為不存在。這個問題如何解決呢？

我們可以將刪除的元素，特殊標記為deleted。當線性探測查找的時候，遇到標記為deleted的空間，並不是停下來，而是繼續往下探測。

你可能已經發現了，線性探測法其實存在很大問題。當散列表中插入的數據越來越多時，散列沖突發生的可能性就會越來越大，空閑位置會越來越少，線性探測的時間就會越來越久。極端情況下，我們可能需要探測整個散列表，所以最壞情況下的時間復雜度為O(n)。同理，在刪除和查找時，也有可能會線性探測整張散列表，才能找到要查找或者刪除的數據。

對於開放尋址沖突解決方法，除了線性探測方法之外，還有另外兩種比較經典的探測方法，二次探測（Quadratic probing）和雙重散列（Double hashing）。

所謂二次探測，跟線性探測很像，線性探測每次探測的步長是1，那它探測的下標序列就是hash(key)+0，hash(key)+1，hash(key)+2……而二次探測探測的步長就變成了原來的“二次方”，也就是說，它探測的下標序列就是hash(key)+0，hash(key)+1²，hash(key)+2²……

所謂雙重散列，意思就是不僅要使用一個散列函數。我們使用一組散列函數hash1(key)，hash2(key)，hash3(key)……我們先用第一個散列函數，如果計算得到的存儲位置已經被占用，再用第二個散列函數，依次類推，直到找到空閑的存儲位置。

不管采用哪種探測方法，當散列表中空閑位置不多的時候，散列沖突的概率就會大大提高。為了盡可能保證散列表的操作效率，一般情況下，我們會盡可能保證散列表中有一定比例的空閑槽位。我們用裝載因子（load factor）來表示空位的多少。

裝載因子的計算公式是：

散列表的裝載因子=填入表中的元素個數/散列表的長度

裝載因子越大，說明空閑位置越少，沖突越多，散列表的性能會下降。

2.鏈表法

鏈表法是一種更加常用的散列沖突解決辦法，相比開放尋址法，它要簡單很多。我們來看這個圖，在散列表中，每個“桶（bucket）”或者“槽（slot）”會對應一條鏈表，所有散列值相同的元素我們都放到相同槽位對應的鏈表中。

當插入的時候，我們只需要通過散列函數計算出對應的散列槽位，將其插入到對應鏈表中即可，所以插入的時間復雜度是O(1)。當查找、刪除一個元素時，我們同樣通過散列函數計算出對應的槽，然后遍歷鏈表查找或者刪除。那查找或刪除操作的時間復雜度是多少呢？

實際上，這兩個操作的時間復雜度跟鏈表的長度k成正比，也就是O(k)。對於散列比較均勻的散列函數來說，理論上講，k=n/m，其中n表示散列中數據的個數，m表示散列表中“槽”的個數。

解答開篇

有了前面這些基本知識儲備，我們來看一下開篇的思考題：Word文檔中單詞拼寫檢查功能是如何實現的？

常用的英文單詞有20萬個左右，假設單詞的平均長度是10個字母，平均一個單詞占用10個字節的內存空間，那20萬英文單詞大約占2MB的存儲空間，就算放大10倍也就是20MB。對於現在的計算機來說，這個大小完全可以放在內存里面。所以我們可以用散列表來存儲整個英文單詞詞典。

當用戶輸入某個英文單詞時，我們拿用戶輸入的單詞去散列表中查找。如果查到，則說明拼寫正確；如果沒有查到，則說明拼寫可能有誤，給予提示。借助散列表這種數據結構，我們就可以輕松實現快速判斷是否存在拼寫錯誤。

內容小結

今天我講了一些比較基礎、比較偏理論的散列表知識，包括散列表的由來、散列函數、散列沖突的解決方法。

散列表來源於數組，它借助散列函數對數組這種數據結構進行擴展，利用的是數組支持按照下標隨機訪問元素的特性。散列表兩個核心問題是散列函數設計和散列沖突解決。散列沖突有兩種常用的解決方法，開放尋址法和鏈表法。散列函數設計的好壞決定了散列沖突的概率，也就決定散列表的性能。

針對散列函數和散列沖突，今天我只講了一些基礎的概念、方法，下一節我會更貼近實戰、更加深入探討這兩個問題。

課后思考

1. 假設我們有10萬條URL訪問日志，如何按照訪問次數給URL排序？

2. 有兩個字符串數組，每個數組大約有10萬條字符串，如何快速找出兩個數組中相同的字符串？

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