ECDSA高性能硬件實現——算法詳解與模塊划分

　　ECDSA全稱橢圓曲線數字簽名算法，它是基於素數域的橢圓曲線對信息進行加簽與驗簽。其核心在於對信息的加簽，及對加簽的信息進行驗簽，那么下面介紹該算法流程。

　　假設Alice希望對消息m進行簽名，並將消息傳給Bob。首先Alice要選用一條橢圓曲線，其參數組為D = ( p,S,a,b,G,n,h) ，對應的密鑰對為( k , Q ) ，其中各參數解釋為：

1. 域的階p;
2. 種子S，用於參數隨機數;
3. 兩個橢圓曲線系數a，b∈F_p，定義了F_p上橢圓曲線E的等式;　
4. 定義橢圓曲線上的一個有窮遠點 ，一般稱其為橢圓曲線基點;
5. G的階n,為素數域的模數;
6. 余數因子h。

　　 密鑰中記k為私鑰，Q為公鑰。其中Q=kG；

Alice將按如下步驟進行簽名：
　　1.利用種子S產生一個隨機數d，d∈（0，n）；

　　2.計算dG=（x₁,y1）；

　　3.計算r=x₁ mod n，若r=0，則返回第一步；

　　4.計算d^-1 mod n；

　　5.計算哈希值e = H(m),    //此步驟可在信息到來時便開始進行；

　　6.計算s=d^-1（e+kr）mod n。 若s = 0，則返回步驟1；

　　7.(r,s)即為對消息m的簽名，最后Alice將（D,r,s,m,Q）傳輸給Bob。

Bob收到（D,r,s,m,Q）后，要對消息進行驗簽，檢驗消息m是否被篡改。

Bob將按以下步驟進行驗簽：

　　1.計算哈希值e = H（m）；

　　2.計算w = s^-1 mod n；

　　3.計算u₁=ew mod n 及u₂=rw mod n;

　　4.計算X=u₁G+u₂Q=(x₂,y₂);

　　5.若X = 0，則驗簽失敗，輸出invalid_verify;否則計算v = x₂ mod n；

　　6.若v = r,則驗簽成功，輸出valid_verfy。

注：上述計算都是基於整數，因為是基於數字橢圓曲線加密，曲線的點選取也是整數，所有一系列計算都是整數，如果出現小數。

下面來將上述算法模塊化，具體化：

　　注意到我們使用過的模塊，

　　加簽步驟1：隨機數產生模塊，要求輸出一個隨機數種子S，輸出一個（0，n）的隨機數d。

　　加簽步驟2：點乘模塊，也成為標量乘模塊，隨機數d為一個標量，G為橢圓曲線上的一個點。標量乘表示多個點相加，比如5G = 2G+2G+G；為啥不能是4G+G或者直接5G，算法不允許呀，因為這不是最簡的點運算形式。

　　　　2G及2G+G才是最簡的點運算形式，其中2G稱為倍點，2G+G稱為點加（注意2G運算后為一個新的點P，也落在橢圓曲線上）。

　　加簽步驟3：模乘模塊，兩個標量相乘並取模。

　　加簽步驟4：模逆模塊，定義d*d^-1=1（mod n），即d*d^-1 = kn(k=1,2,3...)。素數域上的取逆元操作。

　　加簽步驟5：哈希模塊，輸入消息m，輸出哈希值H；

　　加簽步驟6：其中kr和d^-1（e+kr）都是模乘模塊，e+kr 為模加模塊。

驗簽部分也是依靠上述幾個算法模塊，那么得到下面這張圖：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

標量乘調用點加和倍點，但是如果標量為1，2這種情況就直接調用點加和倍點模塊，而點加和倍點根據橢圓曲線規則，需要調用模運算模塊，這個我單獨出一篇文章來講各個模塊的具體實現，這里就不詳細介紹。

因為要在硬件上實現ECDSA算法，所以博主采用了verilog對各模塊進行建模編寫，最后綜合得到下圖：

                                   　　　　　　　　　　　　　　　　　　

詳細的模塊化設計我會在后續模塊介紹中放出。