1. 算法原理
1.1 概述
人工神經網絡無需事先確定輸入輸出之間映射關系的數學方程，僅通過自身的訓練，學習某種規則，在給定輸入值時得到最接近期望輸出值的結果。作為一種智能信息處理系統，人工神經網絡實現其功能的核心是算法。BP神經網絡是一種按誤差反向傳播(簡稱誤差反傳)訓練的多層前饋網絡，其算法稱為BP算法，它的基本思想是梯度下降法，利用梯度搜索技術，以期使網絡的實際輸出值和期望輸出值的誤差均方差為最小。
BP神經網絡的計算過程由正向計算過程和反向計算過程組成。正向傳播過程，輸入模式從輸入層經隱單元層逐層處理，並轉向輸出層，每一層神經元的狀態只影響下一層神經元的狀態。如果在輸出層不能得到期望的輸出，則轉入反向傳播，將誤差信號沿原來的連接通路返回，通過修改各神經元的權值，使得誤差信號最小。
1.2 算法分析
多層神經網絡結構：
通常一個多層神經網絡由\(L\)層神經元組成，第一層稱作輸入層，最后一層稱作輸出層，中間層為隱含層。
多層神經網絡的基本組成元素是神經元，單個神經元的模型如下：
第\(l\)層的隱含層向量：\(H^l=(h_1^l,h_2^l,...,h_j^l,...,h_{s_l}^l) (l=2,3,...,L-1,j=1,2,...,s_l);\)
輸出層輸出向量：\(Y=(y_1,y_2,...,y_k,...,y_n);\)
設\(w_{ij}^l\)為從第\(l-1\)層的第\(i\)個神經元與第\(l\)層的第\(j\)個神經元之間的連接權重，\(b_j^l\)為第\(l\)層第\(j\)個神經元的偏置。
因此得到：
其中\(net_j^l\)為第\(l\)層第\(j\)個神經元的輸入，\(f(\cdot)\)為激活函數。
激活函數：
作用：引入非線性因素，使得模型能夠較好地逼近非線性函數。
BP神經網絡算法常用的激活函數：
- Sigmod函數：
\[f(x)=\frac{1}{1+e^x} \]
- Tanh函數（雙曲正切函數）
\[f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
偏置：
作用：可以理解為加入一個與輸入\(X\)無關的常數項，使得逼近的效果更好。
誤差函數:
作用：衡量輸出結果與期望輸出的差距
假設有\(p\)個訓練樣本\(\{(x(1),y(1)),(x(2),y(2)),...,(x(p),y(p))\}\),\(d(i)\)為對應\(x(i)\)的期望輸出，假設單個訓練樣本有\(n\)個輸出。定義誤差函數：
其中\(E(i)\)為單個樣本的訓練誤差：
因此全局誤差函數：
如何更新權重與偏置：
誤差反向傳播更新權重與偏置
一般采用梯度下降法更新權重與偏置：
其中\(\alpha\)為學習速率，\(\alpha\in(0,1)\)。BP神經網絡算法關鍵就在與如何求解上述兩個偏導數，具體推導比較繁雜，這里就不在敘述，相關參考將附在文末\(^{[2]}\)。
1.3 回顧
最后我們再通過一個示意圖，回顧BP神經網絡算法的整個流程。
1.4 優劣勢
優勢：
主要用於以下四個方面：
- 函數逼近
- 模式識別
- 分類
- 數據壓縮
劣勢：
- 學習速度慢，需要多次學習才能收斂
- 采用梯度下降法，容易陷入局部最小值
- 網絡層數、神經元個數的選取沒有理論指導，主要憑借經驗
- 網絡推廣能力有限
2. Matlab實現
2.1 算法實現步驟
(1) 進行數據預處理
(2) 建立BP神經網絡模型
(3) 利用樣本進行訓練
(4) 返回訓練結束的模型
2.2 案例
在建立BP神經網絡模型以及訓練（即更新權重與偏置）Matlab有自帶的函數，在實現BP神經網絡算法的時候，我們直接調用這些函數就可以。
為了能夠更清晰地了解算法的實現過程，這里選取比較簡單的數據進行演示。
案例一：曲線擬合
題目：創建BP神經網絡
輸入向量 \(P=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];\)
期望輸出 \(T=[0,1,2,3,4,3,2,1,2,3,4];\)
散點圖如下：
Matlab代碼：
close all; clearvars; clear; %清空工作環境
P = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10];
T = [0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4];
%由於feedforwardnet函數自動對樣本進行歸一化和划分訓練、驗證、測試集,所以就不用手動將數據進行歸一化處理，但不知道有沒有打亂順序
net = feedforwardnet(5, 'traingd'); %是'5'是指隱含層有5個神經元，這里只有一個隱含層，多個隱含層神經元的個數設置為[5,3,...]
net.trainParam.lr = 0.01; %學習速率
net.trainParam.epochs = 10000; %最大訓練次數
net.trainParam.goal = 1e-6; %最小誤差，達到該精度，停止訓練
net.trainParam.show = 50; %每50次展示訓練結果
net = train(net, P, T); %訓練
Y = net(P); %輸出
perf = perform(net, Y, T);%誤差
plot(P, T, P, Y, 'r-')
結果還不錯的幾個圖：
由於訓練的樣本太少，所以結果不是很令人滿意。
案例二：蠓蟲分類
題目：依據的資料是觸角和翅膀的長度，已經測得了9 支Af 和6 支Apf 的數據如下：
Af: (1.24,1.72)，(1.36,1.74)，(1.38,1.64)，(1.38,1.82)，(1.38,1.90)，(1.40,1.70)，
(1.48,1.82)，(1.54,1.82)，(1.56,2.08).
Apf: (1.14,1.78)，(1.18,1.96)，(1.20,1.86)，(1.26,2.00)，(1.28,2.00)，(1.30,1.96).
試對觸角和翼長分別為(1.24,1.80)，(1.28,1.84)與(1.40,2.04)的3 個標本加以識別。
Matlab代碼：
clearvars; close all; %清空工作環境
%導入數據，第一列為觸角長度，第二列為翅膀長度
x_1 = [1.24, 1.72; 1.36, 1.74; 1.38, 1.64; 1.38, 1.82;
1.38, 1.90; 1.40, 1.70; 1.48, 1.82; 1.54, 1.82; 1.56, 2.08]; %Af蠓蟲
x_2 = [1.14, 1.78; 1.18, 1.96; 1.20, 1.86; 1.26, 2.00; 1.28, 2.00;
1.30, 1.96]; %Apf蠓蟲
x = [x_1; x_2]'; %合並轉置，因為feedforwardnet函數以一列為單個樣本
goal = [ones(1, 9), zeros(1, 6); zeros(1, 9), ones(1, 6)]; %(1,0)表示為Af蠓蟲，(0,1)表示Apf蠓蟲
x_recognize = [1.24, 1.80; 1.28, 1.84; 1.40, 2.04]'; %識別的樣本
plot(x_1(:, 1), x_1(:, 2), 'ro', 'DisplayName', 'Af'); %繪制Af的散點圖
hold on;
plot(x_2(:, 1), x_2(:, 2), 'bo', 'DisplayName', 'Apf'); %繪制Apf的散點圖
plot(x_recognize(1, :), x_recognize(2, :), 'yo', 'DisplayName', '識別' ); %繪制識別樣本的散點圖
xlabel('觸角長度');
ylabel('翅膀長度');
legend;
net = feedforwardnet([3, 2], 'trainlm'); %兩層隱含層，相應神經元個數分別為3和2，采用L-M優化算法，效果比較好
net.trainParam.max_fail = 1000;
net.trainParam.lr = 0.05; %學習速率
net.trainParam.epochs = 10000; %最大訓練次數
net.trainParam.goal = 1e-15; %最小誤差，達到該精度，停止訓練
net.trainParam.show = 50; %每50次展示訓練結果
net = train(net, x, goal); %訓練
y0 = sim(net, x) %輸出
perf = perform(net, goal, y0)%誤差
ym = sim(net, x_recognize) %識別
下圖是蠓蟲的散點圖，可以看出這三個樣本還是比較難分類的，肉眼幾乎很難判斷。利用BP神經網絡算法得到的結果有時候也會有比較大的差異，這也很正常，僅通過觸角和翅膀長度確實不易分辨。
3. 參考來源
[2] BP神經網絡推導過程詳解 - Alex Yu - 博客園 (cnblogs.com)