置換入門（知識點）

置換

置換：集合到自身的雙射。通常只考慮有限集合。

即 \(f:S\to S\)，且對任意 \(y\in S\) 存在唯一的 \(x\in S\) 滿足 \(f(x)=y\)。

其實就是排列。

置換通常寫成

\[f={a_1 a_2 \cdots a_n\choose a_{p_1} a_{p_2} \cdots a_{p_n}} \]

也可以寫成 \(f(a_1)=a_{p_1},\ldots ,f({a_n})=a_{p_n}\)。

置換的乘法：就是復合，即

\[f={a_1 a_2 \cdots a_n\choose a_{p_1} a_{p_2} \cdots a_{p_n}},g={a_1 a_2 \cdots a_n\choose a_{q_1} a_{q_2} \cdots a_{q_n}} \]

則

\[f\circ g={a_1 a_2 \cdots a_n\choose a_{p_{q_1}} a_{p_{q_2}} \cdots a_{p_{q_n}}} \]

輪換：形如

\[{a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{k-1}}a_{j_k}a_{i_1}\cdots a_{i_{n-k}}\choose a_{j_2}a_{j_3}\cdots a_{j_k}a_{j_1}a_{i_1}\cdots a_{i_{n-k}}} \]

的置換。即把一些元素循環移位，其余元素不變。可以寫成

\[(a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_k}) \]

\(k=2\) 的輪換稱為對換。

任意置換都可以拆成若干個不相交輪換的乘積，如：

\[{12345\choose 25431} \]

可以寫成

\[(125)(34) \]

拆成的輪換個數稱為置換的環數 \(cyc(p)\)。

一個置換可以寫成若干對換的乘積，且對換個數的奇偶性是一定的，也叫做這個置換的奇偶性。根據奇偶性可以分為奇置換和偶置換。

置換的奇偶性與 \(n-cyc(p)\) 的奇偶性相同。

如果置換是

\[{123\cdots n\choose p_1p_2p_3\cdots p_n} \]

則它的奇偶性與排列 \(p\) 的逆序對數相同。

對稱群

大小為 \(n\) 的置換的集合叫做對稱群 \(S_n\)。\(S_n\) 的階數是 \(n!\)。

群：若集合 \(S\) 和 \(S\) 上的二元運算 \(\circ\) 構成的代數結構 \((S,\circ)\) 滿足：

• 封閉性：\(\forall a,b\in S,a\circ b\in S\)。
• 結合律：\(\forall a,b,c\in S,(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)\)。
• 單位元：\(\exist e\in S,\forall a\in S,a\circ e=e\circ a=a\)。
• 逆元：\(\forall a\in S,\exist b\in S,a\circ b=b\circ a=e\)。稱 \(b\) 是 \(a\) 的逆元，記作 \(a^{-1}\)。

大小為 \(n\) 的偶置換的集合叫做交錯群 \(A_n\)。當 \(n\ge 2\) 時，\(A_n\) 的階數是 \(n!/2\)。

note：左單位元=右單位元 左逆元=右逆元

Burnside 引理

令 \(G\) 是作用於集合 \(X\) 上的群。通常 \(X\) 是所有染色方案。若 \(g\in G\)，記 \(X^g\) 為 \(X\) 中在 \(g\) 作用下的不動元素。

Burnside 引理斷言軌道數（記作 \(|X/G|\)，也就是所謂本質不同的方案數）由以下公式給出：

\[|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g| \]

即 \(X\) 在 \(G\) 中每個元素作用下不動元素數的算術平均值。

note：

• 群作用：假設 \(G\) 是作用於集合 \(X\) 上的群，定義作用是 \(g\circ x\)
  1. (g h)x=g(h x)
  2. ex=x
• 不動元素：x^g={x\inX|gx=x} eg RGG 交換后兩個還是 RGG 此時兩個都是不動元素

軌道-穩定子定理

令 \(G\) 是作用於集合 \(X\) 上的群。若 \(x\in X\)，則 \(x\) 的軌道 \(Gx\) 定義為

\[Gx=\{gx\mid g\in G\} \]

note：Gx 即 x 染色方案的等價類，本質相同的元素軌道相同。不同的本質方案數即軌道數。

\(x\) 的穩定子群 \(G^x\) 定義為

\[G^x=\{g\in G\mid gx=x\} \]

note：證明是群：

• 封閉性：若 gx=x,hx=x，則 （gh)x=x 滿足
• 結合律：顯然
• 單位元：顯然存在 ex=x
• 逆元：x=g^{-1}x

軌道-穩定子定理指出

\[|G|=|G^x||Gx| \]

若 \(G=(S,\circ)\) 是一個群，\(H=(T,\circ)\) 也是一個群，且 \(T\sub S\)，則稱 \(H\) 是 \(G\) 的子群。

對某個 \(g\in G\)，\(gH=\{gh\mid h\in H\}\) 是 \(H\) 的一個左陪集，\(Hg=\{hg\mid h\in H\}\) 是 \(H\) 的一個右陪集。

拉格朗日定理 若 \(H\) 是有限群 \(G\) 的子群，則 \(|H|\) 整除 \(|G|\)。

證明 可以證明 \(a\sim b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H\) 是一個等價關系，且 \(a\) 所在的等價類就是 \(aH\)。每個等價類的元素個數都等於 \(|H|\)，因此 \(|H|\) 整除 \(|G|\)。

記 \([G:H]\) 為 \(H\) 不同的左陪集個數，那么 \(|G|=|H|[G:H]\)。

由拉格朗日定理得 \(|G|=|G^x|[G:G^x]\)。接下來只需證明 \([G:G^x]=|Gx|\)。考慮構造雙射 \(\varphi(gx)=gG^x\)。

若 \(gx=fx\)，則 \((f^{-1}\circ g)x=x\)，因此 \(f^{-1}\circ g\in G^x\)，因此 \(fG^x=gG^x\)。反過來若 \(fG^x=gG^x\) 則 \(gx=fx\)。因此 \(\varphi\) 是一個雙射。

• 等價關系：自反性、對稱性、傳遞性

Burnside 引理的剩余推導

\[\begin{aligned} \sum_{g\in G}|X^g|&=\sum_{x\in X}|G^x|\\ &=\sum_{x\in X}\frac{|G|}{|Gx|}\\ &=|G|\sum_{x\in X}\frac{1}{|Gx|}\\ &=|G||X/G| \end{aligned} \]

Pólya 定理

若 \(G\) 是 \(X\) 上的置換群，則給 \(X\) 中的每個元素塗上 \(m\) 種顏色之一，在 \(G\) 作用下本質不同的方案數為

\[\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}m^{cyc(g)} \]

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