Python小白的數學建模課-15.圖論基本概念

• 圖論中所說的圖，不是圖形圖像或地圖，而是指由頂點和邊所構成的圖形結構。
• 圖論不僅與拓撲學、計算機數據結構和算法密切相關，而且正在成為機器學習的關鍵技術。
• 本系列結合數學建模的應用需求，來介紹 NetworkX 圖論與復雜網絡工具包的基本功能和典型算法。
• 『Python小白的數學建模課 @ Youcans』帶你從數模小白成為國賽達人。

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1. 圖論

1.1 圖論是什么

圖論〔Graph Theory〕以圖為研究對象，是離散數學的重要內容。圖論不僅與拓撲學、計算機數據結構和算法密切相關，而且正在成為機器學習的關鍵技術。

圖論中所說的圖，不是指圖形圖像（image）或地圖（map），而是指由頂點（vertex）和連接頂點的邊（edge）所構成的關系結構。

圖提供了一種處理關系和交互等抽象概念的更好的方法，它還提供了直觀的視覺方式來思考這些概念。

1.2 NetworkX 工具包

NetworkX 是基於 Python 語言的圖論與復雜網絡工具包，用於創建、操作和研究復雜網絡的結構、動力學和功能。

NetworkX 可以以標准和非標准的數據格式描述圖與網絡，生成圖與網絡，分析網絡結構，構建網絡模型，設計網絡算法，繪制網絡圖形。

NetworkX 提供了圖形的類、對象、圖形生成器、網絡生成器、繪圖工具，內置了常用的圖論和網絡分析算法，可以進行圖和網絡的建模、分析和仿真。

NetworkX 的功能非常強大和龐雜，所涉及內容遠遠、遠遠地超出了數學建模的范圍，甚至於很難進行系統的概括。本系列結合數學建模的應用需求，來介紹 NetworkX 圖論與復雜網絡工具包的基本功能和典型算法。

NetworkX 的官網和文檔

• 官網地址：https://networkx.org/
• 官方文檔：https://networkx.org/documentation/stable/
• pdf 文檔：https://networkx.org/documentation/stable/_downloads/networkx_reference.pdf

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2、圖、頂點和邊的創建與基本操作

圖由頂點和連接頂點的邊構成，但與頂點的位置、邊的曲直長短無關。

Networkx 支持創建簡單無向圖、有向圖和多重圖；內置許多標准的圖論算法，節點可為任意數據；支持任意的邊值維度，功能豐富，簡單易用。

2.1 圖的基本概念

• 圖（Graph）：圖是由若干頂點和連接頂點的邊所構成關系結構。
• 頂點（Node）：圖中的點稱為頂點，也稱節點。
• 邊（Edge）：頂點之間的連線，稱為邊。
• 平行邊（Parallel edge）：起點相同、終點也相同的兩條邊稱為平行邊。
• 循環（Cycle）：起點和終點重合的邊稱為循環。
• 有向圖（Digraph）：圖中的每條邊都帶有方向，稱為有向圖。
• 無向圖（Undirected graph）：圖中的每條邊都沒有方向，稱為無向圖。
• 賦權圖（Weighted graph）：圖中的每條邊都有一個或多個對應的參數，稱為賦權圖。該參數稱為這條邊的權，權可以用來表示兩點間的距離、時間、費用。
• 度（Degree）：與頂點相連的邊的數量，稱為該頂點的度。

2.2 圖、頂點和邊的操作

Networkx很容易創建圖、向圖中添加頂點和邊、從圖中刪除頂點和邊，也可以查看、刪除頂點和邊的屬性。

2.2.1 圖的創建

Graph() 類、DiGraph() 類、MultiGraph() 類和 MultiDiGraph() 類分別用來創建：無向圖、有向圖、多圖和有向多圖。定義和例程如下：

class Graph(incoming_graph_data=None, **attr)

import networkx as nx  # 導入 NetworkX 工具包

# 創建 圖
G1 = nx.Graph()  # 創建：空的 無向圖
G2 = nx.DiGraph()  #創建：空的 有向圖
G3 = nx.MultiGraph()  #創建：空的 多圖
G4 = nx.MultiDiGraph()  #創建：空的 有向多圖

2.2.2 頂點的添加、刪除和查看

圖的每個頂點都有唯一的標簽屬性（label），可以用整數或字符類型表示，頂點還可以自定義任意屬性。

頂點的常用操作：添加頂點，刪除頂點，定義頂點屬性，查看頂點和頂點屬性。定義和例程如下：

Graph.add_node(node_for_adding, **attr)
Graph.add_nodes_from(nodes_for_adding, **attr)
Graph.remove_node(n)
Graph.remove_nodes_from(nodes)

# 頂點(node)的操作
# 向圖中添加頂點
G1.add_node(1)  # 向 G1 添加頂點 1
G1.add_node(1, name='n1', weight=1.0)  # 添加頂點 1，定義 name, weight 屬性
G1.add_node(2, date='May-16') # 添加頂點 2，定義 time 屬性
G1.add_nodes_from([3, 0, 6], dist=1)  # 添加多個頂點，並定義屬性
G1.add_nodes_from(range(10, 15))  # 向圖 G1 添加頂點 10～14

# 查看頂點和頂點屬性
print(G1.nodes())  # 查看頂點列表
# [1, 2, 3, 0, 6, 10, 11, 12, 13, 14]
print(G1._node)  # 查看頂點屬性
# {1: {'name': 'n1', 'weight': 1.0}, 2: {'date': 'May-16'}, 3: {'dist': 1}, 0: {'dist': 1}, 6: {'dist': 1}, 10: {}, 11: {}, 12: {}, 13: {}, 14: {}}

# 從圖中刪除頂點
G1.remove_node(1)  # 刪除頂點
G1.remove_nodes_from([1, 11, 13, 14])  # 通過頂點標簽的 list 刪除多個頂點
print(G1.nodes())  # 查看頂點
# [2, 3, 0, 6, 10, 12]  # 頂點列表

2.2.3 邊的添加、刪除和查看

邊是兩個頂點之間的連接，在 NetworkX 中 邊是由對應頂點的名字的元組組成 e=(node1,node2)。邊可以設置權重、關系等屬性。

邊的常用操作：添加邊，刪除邊，定義邊的屬性，查看邊和邊的屬性。向圖中添加邊時，如果邊的頂點是圖中不存在的，則自動向圖中添加該頂點。

Graph.add_edge(u_of_edge, v_of_edge, **attr)
Graph.add_edges_from(ebunch_to_add, **attr)
Graph.add_weighted_edges_from(ebunch_to_add, weight='weight', **attr)

# 邊(edge)的操作
# 向圖中添加邊
G1.add_edge(1,5)  # 向 G1 添加邊，並自動添加圖中沒有的頂點
G1.add_edge(0,10, weight=2.7)  # 向 G1 添加邊，並設置邊的屬性
G1.add_edges_from([(1,2,{'weight':0}), (2,3,{'color':'blue'})])  # 向圖中添加邊，並設置屬性
G1.add_edges_from([(3,6),(1,2),(6,7),(5,10),(0,1)])  # 向圖中添加多條邊
G1.add_weighted_edges_from([(1,2,3.6),[6,12,0.5]])  # 向圖中添加多條賦權邊: (node1,node2,weight)
print(G1.nodes())  # 查看頂點
# [2, 3, 0, 6, 10, 12, 1, 5, 7]  # 自動添加了圖中沒有的頂點

# 從圖中刪除邊
G1.remove_edge(0,1)  # 從圖中刪除邊 0-1
G1.remove_edges_from([(2,3),(1,5),(6,7)])  # 從圖中刪除多條邊


# 查看 邊和邊的屬性
print(G1.edges)  # 查看所有的邊
[(2, 1), (3, 6), (0, 10), (6, 12), (10, 5)]
print(G1.get_edge_data(1,2))  # 查看指定邊的屬性
# {'weight': 3.6}
print(G1[1][2])  # 查看指定邊的屬性
# {'weight': 3.6}
print(G1.edges(data=True))  # 查看所有邊的屬性
# [(2, 1, {'weight': 3.6}), (3, 6, {}), (0, 10, {'weight': 2.7}), (6, 12, {'weight': 0.5}), (10, 5, {})]

2.2.4 查看圖、頂點和邊的信息

# 查看圖、頂點和邊的信息
print(G1.nodes)  # 返回所有的頂點 [node1,...]
# [2, 3, 0, 6, 10, 12, 1, 5, 7]
print(G1.edges)  # 返回所有的邊 [(node1,node2),...]
# [(2, 1), (3, 6), (0, 10), (6, 12), (10, 5)]
print(G1.degree)  # 返回各頂點的度 [(node1,degree1),...]
# [(2, 1), (3, 1), (0, 1), (6, 2), (10, 2), (12, 1), (1, 1), (5, 1), (7, 0)]
print(G1.number_of_nodes())  # 返回頂點的數量
# 9
print(G1.number_of_edges())  # 返回邊的數量
# 5
print(G1[10])  # 返回與指定頂點相鄰的所有頂點的屬性
# {0: {'weight': 2.7}, 5: {}}
print(G1.adj[10])  # 返回與指定頂點相鄰的所有頂點的屬性
# {0: {'weight': 2.7}, 5: {}}
print(G1[1][2])  # 返回指定邊的屬性
# {'weight': 3.6}
print(G1.adj[1][2])  # 返回指定邊的屬性
# {'weight': 3.6}
print(G1.degree(10))  # 返回指定頂點的度
# 2

print('nx.info:',nx.info(G1))  # 返回圖的基本信息
print('nx.degree:',nx.degree(G1))  # 返回圖中各頂點的度
print('nx.density:',nx.degree_histogram(G1))  # 返回圖中度的分布
print('nx.pagerank:',nx.pagerank(G1))  # 返回圖中各頂點的頻率分布

2.3 圖的屬性和方法

圖的方法

方法	說明
G.has_node(n)	當圖 G 中包括頂點 n 時返回 True
G.has_edge(u, v)	當圖 G 中包括邊 (u,v) 時返回 True
G.number_of_nodes()	返回 圖 G 中的頂點的數量
G.number_of_edges()	返回 圖 G 中的邊的數量
G.number_of_selfloops()	返回 圖 G 中的自循環邊的數量
G.degree([nbunch, weight])	返回 圖 G 中的全部頂點或指定頂點的度
G.selfloop_edges([data, default])	返回 圖 G 中的全部的自循環邊
G.subgraph([nodes])	從圖 G1中抽取頂點[nodes]及對應邊構成的子圖
union(G1,G2)	合並圖 G1、G2
nx.info(G)	返回圖的基本信息
nx.degree(G)	返回圖中各頂點的度
nx.degree_histogram(G)	返回圖中度的分布
nx.pagerank(G)	返回圖中各頂點的頻率分布
nx.add_star(G,[nodes],**attr)	向圖 G 添加星形網絡
nx.add_path(G,[nodes],**attr)	向圖 G 添加一條路徑
nx.add_cycle(G,[nodes],**attr)	向圖 G 添加閉合路徑

例程：

G1.clear() # 清空圖G1
nx.add_star(G1, [1, 2, 3, 4, 5], weight=1)  # 添加星形網絡：以第一個頂點為中心
# [(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5)]
nx.add_path(G1, [5, 6, 8, 9, 10], weight=2)  # 添加路徑：順序連接 n個節點的 n-1條邊
# [(5, 6), (6, 8), (8, 9), (9, 10)]
nx.add_cycle(G1, [7, 8, 9, 10, 12], weight=3)  # 添加閉合回路：循環連接 n個節點的 n 條邊
# [(7, 8), (7, 12), (8, 9), (9, 10), (10, 12)]
print(G1.nodes)  # 返回所有的頂點 [node1,...]
nx.draw_networkx(G1)
plt.show()

G2 = G1.subgraph([1, 2, 3, 8, 9, 10])
G3 = G1.subgraph([4, 5, 6, 7])
G = nx.union(G2, G3)
print(G.nodes)  # 返回所有的頂點 [node1,...]
# [1, 2, 3, 8, 9, 10, 4, 5, 6, 7]

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3、圖的繪制與分析

3.1 圖的繪制

可視化是圖論和網絡問題中很重要的內容。NetworkX 在 Matplotlib、Graphviz 等圖形工具包的基礎上，提供了豐富的繪圖功能。

本系列擬對圖和網絡的可視化作一個專題，在此只簡單介紹基於 Matplotlib 的基本繪圖函數。基本繪圖函數使用字典提供的位置將節點放置在散點圖上，或者使用布局函數計算位置。

方法	說明
draw(G[,pos,ax])	基於 Matplotlib 繪制 圖 G
draw_networkx(G[, pos, arrows, with_labels])	基於 Matplotlib 繪制 圖 G
draw_networkx_nodes(G, pos[, nodelist, . . . ])	繪制圖 G 的頂點
draw_networkx_edges(G, pos[, edgelist, . . . ])	繪制圖 G 的邊
draw_networkx_labels(G, pos[, labels, . . . ])	繪制頂點的標簽
draw_networkx_edge_labels(G, pos[, . . . ])	繪制邊的標簽

其中，nx.draw() 和 nx.draw_networkx() 是最基本的繪圖函數，並可以通過自定義函數屬性或其它繪圖函數設置不同的繪圖要求。

draw(G, pos=None, ax=None, **kwds)

draw_networkx(G, pos=None, arrows=True, with_labels=True, **kwds)

常用的屬性定義如下：

• 'node_size'：指定節點的尺寸大小，默認300
• 'node_color'：指定節點的顏色，默認紅色
• 'node_shape'：節點的形狀，默認圓形
• ''alpha'：透明度，默認1.0，不透明
• 'width'：邊的寬度，默認1.0
• 'edge_color'：邊的顏色，默認黑色
• 'style'：邊的樣式，可選 'solid'、'dashed'、'dotted'、'dashdot'
• 'with_labels'：節點是否帶標簽，默認True
• 'font_size'：節點標簽字體大小，默認12
• 'font_color'：節點標簽字體顏色，默認黑色

3.2 圖的分析

NetwotkX 提供了圖論函數對圖的結構進行分析：

子圖

• 子圖是指頂點和邊都分別是圖 G 的頂點的子集和邊的子集的圖。
• subgraph()方法，按頂點從圖 G 中抽出子圖。例程如前。

連通子圖

• 如果圖 G 中的任意兩點間相互連通，則 G 是連通圖。
• connected_components()方法，返回連通子圖的集合。

G = nx.path_graph(4)
nx.add_path(G, [7, 8, 9])
# 連通子圖
listCC = [len(c) for c in sorted(nx.connected_components(G), key=len, reverse=True)]
maxCC = max(nx.connected_components(G), key=len)
print('Connected components:{}'.format(listCC))  # 所有連通子圖
# Connected components:[4, 3]
print('Largest connected components:{}'.format(maxCC))  # 最大連通子圖
# Largest connected components:{0, 1, 2, 3}

強連通

• 如果有向圖 G 中的任意兩點間相互連通，則稱 G 是強連通圖。
• strongly_connected_components()方法，返回所有強連通子圖的列表。

# 強連通
G = nx.path_graph(4, create_using=nx.DiGraph())
nx.add_path(G, [3, 8, 1])
# 找出所有的強連通子圖
con = nx.strongly_connected_components(G)
print(type(con),list(con))
# <class 'generator'> [{8, 1, 2, 3}, {0}]

弱連通

• 如果一個有向圖 G 的基圖是連通圖，則有向圖 G 是弱連通圖。
• weakly_connected_components()方法，返回所有弱連通子圖的列表。

# 弱連通
G = nx.path_graph(4, create_using=nx.DiGraph())  #默認生成節點 0,1,2,3 和有向邊 0->1,1->2,2->3
nx.add_path(G, [7, 8, 3])  #生成有向邊：7->8->3
con = nx.weakly_connected_components(G)
print(type(con),list(con))
# <class 'generator'> [{0, 1, 2, 3, 7, 8}]

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【本節完】

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