堆排序是怎么排的？

我們先看看究竟什么是堆？以大頂堆為例：

對於一棵完全二叉樹而言，當每個結點不小於其子結點時，便可稱之為堆(大頂堆)，比如：

 

 

原始的待排序的數組為：30, 20, 40, 10, 0, 60, 80, 70其對應的完全二叉樹為：

 

 

接下來，我們來圖解堆排序，並用程序來實現堆排序。在這個過程中，希望大家感受到堆之美。

 

圖解堆排序

一. 構建堆

第1步：

如上圖，最后一個非葉子結點是10，發現10比70小，所以70必須上浮，得到的結果為：

 

 

 

第2步：

如上圖，倒數第二個非葉子結點為40，在40，60，80這三個數中，80最大，所以80必須上浮，得到的結果如下：

 

 

 

第3步：

如上圖，倒數第三個非葉子結點為20，而20比70小，所以70必須上浮，20下沉后，發現比下面的10還大，所以沒有必要沉底，得到的結果為：

 

 

 

第4步：

如上圖，倒數第四個非葉子結點為30，在30，70，80中，80最大，所以80要上浮，30下沉。然而，30比60和40都小，所以要繼續下沉，得到的結果是：

 

 

到此為止，可以看到，一個大頂堆已經形成，可以看到，最大的80已經被選擇出來了。

 

二. 調整堆

我們把堆頂的最大值80調整到最后，保存下來，得到的結果是：

 

 

接下來的工作就是對上面紅框中的的7個結點進行調整，使之形成新的堆。

很顯然，根據之前調整的過程可知，兩個藍色框中的結點，已經分別成堆了，所以這次的調整就簡單多了，直接瞄准待調整的10即可。

之前已經把8個結點調整成堆，那么調整上面紅色框中的7個結點成堆便不在話下。於是，這7個結點中最大的70被調到了堆頂，如下：

 

 

80是最大的值，放在最后。堆頂的70是第二大的值，放在倒數第二的位置，所以跟40進行交換，得到的結果為：

 

 

可見，通過2次從堆頂摘下最大元素，分別把80和70選出來了。接下來，用相同的方法，把60選出來，依此循環，最后得到的二叉樹為：

 

 

終於，實現了排序，這就是所謂的堆排序，其平均時間復雜度為O(N*logN), 比冒泡排序好多啦。

 

堆排序實現

接下來，我們用代碼來實現堆排序，如下：

#include<iostream>
using namespace std;

void print(int a[], int n)
{
  int i;
  for(i = 0; i < n; i++)
  {
    cout << a[i] << " ";
  }

  cout << endl;
}
 
void heapAdjust(int a[], int low, int high)
{
  int pivotKey = a[low - 1];
  int i;
  for(i = 2 * low; i <= high; i *= 2) 
  {
    if(i < high && a[i - 1] < a[i])
    {
      i++; //i指向較大值
    }

    if(pivotKey >= a[i - 1])
    {
      break;
    }
  
    a[low - 1] = a[i - 1];
    low = i; 
  }
  a[low - 1] = pivotKey; 
}
 
void heapSort(int a[], int n)
{
  int i, tmp;
  for(i = n/2; i > 0; i--) 
  {
    heapAdjust(a, i, n);
    print(a, n);
  }

  for(i = n; i > 1; i--)
  {
    tmp = a[i -1];
    a[i - 1] = a[0];
    a[0] = tmp;
    heapAdjust(a, 1, i - 1); 
    print(a, n);
  }
}

int main()
{
  int a[] = {30, 20, 40, 10, 0, 60, 80, 70};
  int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
  heapSort(a, n);
  print(a, n);
  return 0;
}

 

最終的排序結果如下：

0 10 20 30 40 60 70 80 

 

堆是一種重要的數據結構，堆排序也是非常重要的算法。在筆試面試中，經常考到堆的相關應用。