鼓面振動就是一種圓膜振動。知了的發聲也是靠腹部的薄膜振動。
1. 圓膜振動的解析結果
圓膜振動的數學物理方程、及其求解如下。
2. 圓膜振動的可視化
已知上面的解，可以用計算機編程，把不同模式的圓膜振動畫成動圖，甚至還可以帶上聲音。
對於給定的\(n,i\)，已經確定一個振動模式，
\[u_{ni} (r,\theta,t) = J_n( k^n_i r) [ E_{ni} cos( k^n_i a t + \phi_{ni} ) cos( n \theta ) + F_{ni} cos( k^n_i at + \varphi_{ni} ) sin( n\theta ) ] \]
可以更簡單一點，只討論
\[u_{ni} (r,\theta,t) = J_n( k^n_i r) cos( k^n_i a t + \phi_{ni} ) cos( n \theta )， \]
顯而易見，\(J_n( k^n_i r) cos( n \theta )\) 決定了圓膜上各點的振幅，各點做簡諧振動，諧振頻率僅與 \(n,i\) 有關，
\[f = \frac{ \nu_{ni} }{ 2 \pi }. \]
然后寫個循環畫若干楨，變成動圖，就可以比較形象地看到不同模式的鼓面振動了。