同樣是占32個坑，憑啥你float就比int的范圍更大？

原文出處：https://zhuanlan.zhihu.com/p/84453627?from_voters_page=true

ok，這里先說明一下，假設是在32位的機器上，int是32位。而float使用的是IEEE 754標准的單精度浮點數格式也是占用32位。

這時候float和int都是占用32位，占用同樣的空間，但float范圍是更大的，那我們為啥還要int呢？為啥不節省空間，只用float？我們來一探究竟！他們在計算機的大腦里是如何記憶的？

1、int對32個坑是如何使用的？

（實名吐槽知乎，居然沒有表格。。。）

int類型的使用方法，大多學過計算機的，應該都是非常清楚的。二進制存儲即可。

例1：請寫出165(10進制)使用32位int型存儲在計算機中的形式。

10進制轉換為2進制，我個人喜歡先轉為16進制，再寫成2進制。

如下： 

那么165在32位int型中是這樣存儲的（中間的0，我省略了）：

165在計算機中的int存儲

非常簡單明了，好理解。把10進制轉換2進制，直接存進去就ok，前面空位補0。

例2：請寫出-165(10進制)使用32位int型存儲在計算機中的形式。

這是一個負數，按照慣例int型首位為符號位。0表示在正數，1表示負數。

如下： 

但在計算機中，負數存儲的是補碼，不是原碼。

他們之間按照如下轉換：

原碼：1000 0000 1010 0101

反碼：1111 1111 0101 1010 （除了符號位，其它取反）

補碼：1111 1111 0101 1011 （在反碼的基礎上加1即可）

那么-165在32位int型中是這樣存儲的（中間的1，我省略了）：

-165在計算機中的int存儲

比正數復雜了一點，但是還是可以很容易算出來的。

問題來了？為啥負數要用補碼？這不是挑事嗎？原碼不好嗎？

原因之一在於，我們計算：  ，在計算機中存儲的是二進制，

如果使用原碼進行計算，需要單獨把符號位拿出來，再做減法運算，而把符號位區分出來是需要額外的硬件電路支撐的，這很不方便。

如果使用補碼，如下所示（這里按照16位進行舉例）：

0000 0000 1010 0101 + 1111 1111 0101 1011=0000 0000 0000 0000；

使用補碼參與運算后，無需再管符號位，可以讓符號位直接參與運算。這就是使用補碼的最大的好處。到這里大家有沒有發現，int型的這種存儲方案是沒有考慮小數的，所以這是整型的。關於int型的存儲，不再贅述，整體來說還是清晰明了的一種方案。

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2、float對32個坑是如何使用的？

同樣也是占用32個坑，float型的范圍比int就大很多，而且還能表示小數，那么它到底是如何利用這32個坑的呢？

例3：請寫出165.25(10進制)使用float型存儲在計算機中的形式。

同樣我們還是先轉換為2進制： 1010 0101 . 0100

那么如何把上面的二進制小數存到32個坑里呢？

在填坑之前，我們先要規范二進制小數的表示形式，就和我們的科學計數法一樣的道理。

（就像  要寫成  這個樣子，把所有的小數換成統一的格式）

IEEE754標准做了這樣的規定：當尾數(小數)不為0時，尾數域的最高有效位為1，這稱為浮點數的規格化。

例如： 

規格化后的二進制小數，有了統一的規格，可以發現這樣規格化之后，我們只需要存儲一個尾數（即小數部分，整數部分恆為1）和指數部分。

IEEE754標准把float型的32個坑做了如下划分：

其中包含了1位符號位S，8位階碼E和23位尾數M。

 ，要存儲這個二進制小數；

首先符號位S，0表示正數，1表示負數。S=0；

再寫出尾數M，即：M=0100 1010 1000 0000 0000 000；

然后算出階碼E，這里指數為：e=7=0000 0111，根據標准要求，E=e+127；

即：E=7+127=134=1000 0110；

那么把這三個數都填進坑里，就ok啦。

165.25在計算機中的float儲存

這個計算過程稍微復雜點，但也還可以手算出來。

但是問題又來了：

1、浮點數的表示范圍有多大？

2、為什么要用指數加上127，才是階碼E，而不是直接用指數存進去？

3、這個過程可以看出float有效位是尾數M加1也就是24位，階碼E只是我們規范科學計數法記錄指數的，但int有效位是32位，float實際有效位比int少，那么在相互轉換的過程中會出現什么問題？

我依次解釋這3個問題：

1、浮點數的表示范圍有多大？

float型定義的正無窮大

float型定義的負無窮小

可以得出當E= 1111 1111時，指數為255-127=128，但這並不是表示這個數是：  ，在IEEE754把這種情況定義為無窮大，此時尾數必須全部為0，不能有其他值，否則就認為無效數字。

那么除了無窮大這個特殊的、人為定義的情況，float型能表示的最大的正整數是多少？最小的負整數是多少？當E= 1111 1111時，是IEEE754定義的特殊值即為無窮大，那么除此之外的最大值就是：E= 1111 1110，M也取最大值，即得到如下結果：

float型能存儲的最大正整數

此時階碼E為254，指數即為e=254-127=127。這個數即為：

 ；

對於尾數我們可以換一個寫法：

1.1111 1111 1111 1111 1111 111=10-0.0000 0000 0000 0000 0000 001

這樣尾數可以寫成：  ；

那么float能夠表示的最大正整數就是：  ，即為  。

那么float能夠表示的最大負整數就是：  。

2、為什么要用指數加上127，才是階碼E，而不是直接用指數存進去？

這就很容易說明了，我們舉個例子：

例4：請寫出0.75(10進制)使用float型存儲在計算機中的形式。

寫成二進制： 。再寫成規划化的計數法：  ；

發現問題了沒有？這次的指數是個負數啦，而我們希望存儲到機器里的階碼永遠都是正值，因為我們不希望再浪費一個坑去保存階碼的正負號，於是乎，干脆把指數加上127，而指數能取到的最小值就是-127，這樣就可以保證階碼E永遠都是正數啦，我們就不用再考慮指數正負號的問題了。

E=-1+127=126=0111 1110；

M=1000 0000 0000 0000 0000 000；

0.75在計算機中的float儲存

3、這個過程可以看出float有效位是尾數M加1也就是24位，階碼E只是我們用於規范科學計數法記錄指數的，但int有效位是32位，float實際有效位比int少，那么在相互轉換的過程中會出現什么問題？

通過問題1知道，float型的表示范圍是比int大很多的，但有效位確實只有24位。既然float范圍大，那么所有的int型都是可以轉換為float型的，這是不會產生溢出報錯的。但因為int型有效位是32位，是比float型的24位大的，是有可能發生舍入的，即當一個int型數字，轉成float型后，可能就不再是原本數字了，損失了一定的精度。

例如2進制int型正數：0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111；

寫成科學計數法即為： 

小數點后面有30個1，但是我們知道float種尾數M只有23個坑。

則轉化為float型后，階碼E=30+127=157=1001 1101

可以發現，我們對原int型中存儲的數字只保留了小數點后23個1，而后面7個，直接忽視了，這就是發生了舍入。

如果既要范圍大，還要保留精度，那就上雙精度浮點型double，double型的存儲規則和float型是十分類似的。double型有64個坑位，包括了1個符號位S，11個階碼位E和52個尾數位M。所以double的有效位有53位，可以完整保留int。

ok，同樣是占32個坑，那憑啥你float就比int的范圍更大？因為float型雖然范圍大，但是精度不足啊！所以各有千秋哦。