裝載問題(回溯法)

1、問題

有n個集裝箱要裝上2艘載重量分別為c1和c2的輪船，其中集裝箱i的重量為wi，且∑wi <= c1 + c2。

問是否有一個合理的裝載方案,可將這n個集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。

2、解析

c1和c2是相互獨立的，即如何在c1或者c2上，放置物品是互不干擾的。
但是假如先在c1上放置貨物，則因剩下的貨物不同，會使c2上裝載的貨物的情況發生變化。
因此，為了保證c1上裝載的情況，滿足c1和c2將所有的貨物都裝下，c1上應該盡可能的多放物品。

3、設計

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int num=100;
int n,c1,c2,w[num];// n個集裝箱，A,B貨輪載重量分別為C1，C2，W[i],第i個集裝箱的重量
int cw,bw,rw;//cw，當前集裝箱貨物重量；bw，最優載重重量，rw，剩余集裝箱重量；
int x[num],bx[num];//x[]，A貨輪的當前結果；bx[]，A貨輪的最優結果；
void BackTrack(int i) {
    //處理完了前n個集裝箱；
    if(i>n){
        if(cw>bw){//cw，目前A中裝了cw重量的集裝箱；
        //更新最優解；
            bw=cw;
            for(int i=1;i<=n;i++) bx[i]=x[i];
        }    
        return;
    }
    //rw表示處理完第i個之后（選或不選），還剩下rw-w[i]重量的集裝箱未處理；
    rw-=w[i];
    if(cw+w[i]<=c1){//cw，第i個貨箱之前的重量 + 第i個貨箱小於A的最大重量C1；
        cw+=w[i];//加上
        x[i]=1;//標記i被選
        BackTrack(i+1);
        cw-=w[i];//減去重量
        x[i]=0;//撤銷標記；
    }
    //不選擇第i個物品的話；
    //if cw：表示[1:i)的數據  rw:表示(i,n]的數據 ，不包括第i個的數據
    //如果不包括第i的數據的和（cw+rw） 大於  目前最優解bw，則可以遞歸下去；
    if(cw+rw > bw){
        x[i]=0;
        BackTrack(i+1);
    }

    //處理完第i個物品當前的情況了；
    //因為再上一層，有兩種情況；
    //1；選擇第i物品；
    //2：不選擇第i個物品
    //如果目前處理的是上一層第1種情況，那么我們就有必要加上這個w[i];
    //否則會影響上一層處理第2種情況；
    rw+=w[i];
    return ;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&c1,&c2);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d",&w[i]);
        rw+=w[i];//rw表示目前最優集裝箱的剩余重量；
    }
    //遞歸回溯
    BackTrack(1);
    //bw表示A貨輪裝下的貨物重量；剩余的重量 > B可以放下的最多，則不可；
    if(rw-bw>c2){
        printf("沒有裝載方案\n");
    }else{
        printf("貨輪A：\n");
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            if(bx[i]) {
                printf("%d ",i);
            }
        } 
        printf("\n貨輪B：\n");
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            if(0==bx[i]) {
                printf("%d ",i);
            }
        } 
    }
    return 0;   
}

4、分析

最壞情況要遍歷圖中所有結點，算法的時間復雜度為O(2")。因為，葉子結點有2"，每個結點要計算機裝載量以判斷是否回溯。

5、源碼

https://github.com/ChenyuWu0705/Algorithm-Analyze-and-Design/blob/main/loan.cpp