韓信分油問題：只借助兩個容量分別為7升和3升的不規則且無刻度的容器，如何讓兩人平分一桶10升的油？
解：用有序對/a,b/表示大容器的油量為a升，小容器的油量為b升。初始狀態為/0, 0/，即兩個容器都是空的。再用X、A、B分別代表油桶、大容器和小容器。並用變換MtoN表示從M往N中倒油（當N為X時即為倒空M；當N不為X時為倒滿N或倒空M，且二者必居其一）。於是一個可行的分油過程如下：
/0, 0/ XtoA /7, 0/ AtoB /4, 3/ BtoX /4, 0/ AtoB /1, 3/ BtoX /1, 0/ AtoB /0, 1/ XtoA /7, 1/ AtoB /5, 3/ BtoX /5, 0/
最后大容器里以及油桶里的油量各占5升，達到了平分的目的。
來看一下大容器在上述過程中油量的變化情況：0，7，4，1，0，7，5
對應的等式分別為：7·0 = 0，7·1 = 7，7·1 - 3·1 = 4，7·1 - 3·2 = 1，7·0 = 0，7·1 = 7，7·1 - [3·1 - (7·1 - 3·2)] = 5
接下來，容易想到如下一個擴展的問題：
從一個無窮大的油桶里取油，只借助兩個容量分別為7升和3升的不規則且無刻度的容器，所能表示的整數升油量有哪些？
解：由之前的題解，已經知道這兩個容器可以表示的整數升油量可以為0、1、3、4、5、7、8。
10是顯然可以的，對應把A和B都注滿的情形。
由以下變換可知2、6、9也都可以表示出來：
/5, 0/ AtoB /2, 3/
/0, 3/ BtoA /3, 0/ XtoB /3, 3/
/2, 3/ BtoX /2, 0/ AtoB /0, 2/ XtoA /7, 2/
因此，此題的解為0到10的全體整數。
換兩個數，再考察一下，比如：
從一個無窮大的油桶里取油，只借助兩個容量分別為7升和5升的不規則且無刻度的容器，所能表示的整數升油量有哪些？
解：最小值0和最大值12是顯然可以的。5和7，以及它們的差，即2，也是顯然可以的。9（2+7）和10（5+5）也可以。
由以下變換過程：
/7, 2/ AtoB /4, 5/ BtoX /4, 0/ AtoB /0, 4/ XtoA /7, 4/ AtoB /6, 5/ BtoX /6, 0/ AtoB /1, 5/ BtoX /1, 0/ AtoB /0, 1/ XtoA /7, 1/ AtoB /3, 5/
可知，4、11、6、1、8、3也都是可以表示的。
綜上，此題的解為0到12的全體整數。
由以上的分析，推測會有以下一般性的結論：
從一個無窮大的油桶里取油，只借助兩個不規則且無刻度的容器，容量分別為a升和b升，a和b均為正整數，且滿足(a, b) = 1。則所能取得的整數升油量為0到a+b范圍內的全體整數。
證明：a = b的情形只可能是 a = b = 1，命題顯然成立。以下考慮 a ≠ b 的情形，由結論的對稱性，不妨假設 a > b。
a升的容器記為A，b升的容器記為B，油桶記為X。先把容器A和B注滿，即XtoA, XtoB，得到a+b升油量；再把容器B倒空，並用容器A中的油注滿容器B，即BtoX, AtoB，得到a升油量；此時若A中油量不為0，則繼續重復做BtoX, AtoB操作。這一連串的過程可以得到：
a+b ≡ a ≡ a-b ≡ ... ≡ r1 (mod b) ①
其中 r1 滿足 a+b = q1·b + r1, q1 > 0, 0 ≤ r1 < b
當 b = 1 時，r1 = 0，由①知命題顯然成立。
當 b > 1時，由(a, b) = 1，可知 0 < r1 < b。上面的操作最后得到的狀態是 /0, r1/，再次注滿容器A，並用A中的油注滿B，即XtoA, AtoB，此時的狀態為 /a+r1-b, b/；接着再次重復上面的BtoX, AtoB操作，直到容器A中的油量為空為止。這一連串的過程可以得到：
a+r1 ≡ a+r1-b ≡ ... ≡ r2 (mod b) ②
其中 r2 滿足 a+r1 = q2·b + r2, q2 > 0, 0 ≤ r2 < b, r2 ≠ r1
這里對 r2 ≠ r1 說明一下，假如r1 = r2，則由①和②便有 a+b ≡ a+r1 (mod b)，這與 0 < r1 < b 矛盾。
當 b = 2 時，由①知，r1 = 1，再結合②可知，r2 = 0，則①和②分別涵蓋了0到a+2的所有奇數和偶數，命題成立。
當 b > 2 時，必有 r2 ≠ 0，否則 a+r1 ≡ a+(a+b) ≡ 0 (mod b)，即有 b | 2a，再由 (a, b) = 1，知 b | 2，這與 b > 2 矛盾。繼續上面的操作，會得到：
a+r2 ≡ a+r2-b ≡ ... ≡ r3 (mod b) ③
其中 r3 滿足 a+r2 = q3·b + r3, q3 > 0, 0 ≤ r3 < b, r3 ≠ r2, r3 ≠ r1
這里對 r3 ≠ r2 說明一下，假如r3 = r2，則 a+r2 ≡ a+r1 (mod b)， 這與 r2 ≠ r1 矛盾。
當 b = 3 時，由①和②知，r1和r2必然是一個為1、一個為2，於是r3 = 0，則①、②和③一起涵蓋了0到a+3的全體整數，命題成立。
按照上面的操作，當 b = k (k > 3)時，會有以下 k 個同余關系：
a+k ≡ a ≡ a-k ≡ ... ≡ r1 (mod k)
a+r1 ≡ a+r1-k ≡ ... ≡ r2 (mod k)
a+r2 ≡ a+r2-k ≡ ... ≡ r3 (mod k)
...
a+rk-1 ≡ a+rk-1-k ≡ ... ≡ rk (mod k)
其中 r1 滿足 a+k = q1·k + r1, q1 > 0, 0 ≤ r1 < k；ri 滿足 a+ri-1 = qi·k + ri, qi > 0, 0 ≤ ri < k, (i = 2, 3, ..., k)。
下面來證明 r1, r2, ..., rk-1 都不能等於0：
假如 r1 = 0，則由 a+k ≡ a ≡ 0 (mod k)，知 k | a，而 k > 3，這與(a, k) = 1矛盾，故 r1 ≠ 0；
假如 r2 = 0，則由 a+r1 ≡ a+a ≡ 0 (mod k)，知 k | 2a，再由 (a, k) = 1，有 k | 2，這與 k > 3 矛盾，故 r2 ≠ 0；
假如 r3 = 0，則由 a+r2 ≡ a+(a+r1) ≡ a+a+a ≡ 0 (mod k)，知 k | 3a，再由 (a, k) = 1，有 k | 3，這與 k > 3 矛盾，故 r3 ≠ 0；
...
假如 rk-1 = 0，則由 a+rk-2 ≡ a+(a+rk-3) ≡ ... ≡ (k-1)·a ≡ 0 (mod k)，知 k | (k-1)·a，再由 (a, k) = 1，有 k | k-1，這與 k > k-1 矛盾，故 rk-1 ≠ 0。
接着證明 r1, r2, ..., rk-1, rk 兩兩互不相等：
假如 r2 = r1，則由同余關系有 a ≡ a+r1 (mod k)，這與 0 < r1 < k 矛盾，故 r2 ≠ r1；同樣，可知 r3, ..., rk-1, rk 也都不等於 r1；
假如 r3 = r2，則由同余關系有 a+r2 ≡ a+r1 (mod k)，這與 r2 ≠ r1 且 0 < r1 < k, 0 < r2 < k 矛盾，故 r3 ≠ r2；同樣，可知 r4, ..., rk-1, rk 也都不等於 r2；
...
假如 rk-1 = rk-2，則由同余關系有 a+rk-2 ≡ a+rk-3 (mod k)，這與 rk-2 ≠ rk-3 且 0 < rk-3 < k, 0 < rk-2 < k 矛盾，故 rk-1 ≠ rk-2；同樣，可知 rk 也不等於 rk-2；
假如 rk = rk-1，則由同余關系有 a+rk-1 ≡ a+rk-2 (mod k)，這與 rk-1 ≠ rk-2 且 0 < rk-2 < k, 0 < rk-1 < k 矛盾，故 rk ≠ rk-1。
綜上， r1, r2, ..., rk-1, rk 這 k 個整數兩兩不等，且 r1, r2, ..., rk-1 全都大於0且小於k，再由 0 ≤ rk < k，知 rk = 0（否則 rk 必然要和前面 k-1 個數之一相等）。
由以上分析，上面的 k 個同余關系就涵蓋了 0 到 a+k 范圍內的全體整數，因此對任意 b = k, k > 3 的情形命題成立。
綜上，命題得證。
由兩個容器還可以拓展到更一般的情形：
用 n (n > 1) 個不規則無刻度的容器從一個無窮大的油桶里取油，這些容器容量都為整數升，分別記為 a1, a2, ..., an ，且滿足(a1, a2, ..., an) = 1。則所能取得的整數升油量為0到s范圍內的全體整數，s = a1+a2+...+an。
n = 2 的情形就是上述剛才已經證明過的那個命題。當 n > 2 時，要用到如下一個引理，利用這個引理，n > 2 的情形可以等價為 n = 2 的情形。
引理 若n個正整數滿足 (a1, a2, ..., an) = 1，並記 s為這n個數的和，則有 min{ (a1, s), (a2, s), ..., (an, s) } = 1。
比如，n = 3，3個容器的容量分別為3升、5升和7升，s = 3+5+7 = 15，(3,15) = 3, (5, 15) = 5, (7, 15) = 1，即有 (a3,s) = 1，即 (a3,s-a3) = 1
s-a3 = a1+a2，這時，把容量為a1和容量為a2的容器看成一個容器，其容量為 a1+a2=3+5=8，用這個復合容器和容量為a3=7的容器按前述的方法取油，所能取得的整數升油量必然為0到s范圍內的全體整數。
遺憾的是，這個引理，我還沒有找到方法證明。