簡介： Y組合子是Lambda演算的一部分，也是函數式編程的理論基礎。它是一種方法/技巧，在沒有賦值語句的前提下定義遞歸的匿名函數，即僅僅通過Lambda表達式這個最基本的“原子”實現循環/迭代。本文將用10種不同的編程語言實現Y組合子，以及Y版的遞歸階乘函數。
作者 | 技師
來源 | 阿里技術公眾號
一 Y-Combinator
Y組合子是Lambda演算的一部分，也是函數式編程的理論基礎。它是一種方法/技巧，在沒有賦值語句的前提下定義遞歸的匿名函數。即僅僅通過Lambda表達式這個最基本的“原子”實現循環/迭代，頗有道生一、一生二、二生三、三生萬物的感覺。
1 從遞歸的階乘函數開始
先不考慮效率等其他因素，寫一個最簡單的遞歸階乘函數。此處采用Scheme，你可以選擇自己熟悉的編程語言跟着我一步一步實現Y-Combinator版的階乘函數。
(define (factorial n) (if (zero? n) 1 (* n (factorial (- n 1)))))Scheme中 (define (fn-name)) 是 (define fn-name (lambda)) 的簡寫，就像JS中，function foo() {} 等價於 var foo = function() {}。把上面的定義展開成Lambda的定義：
(define factorial (lambda (n) (if (zero? n) 1 (* n (factorial (- n 1))))))2 綁定函數名
想要遞歸地調用一個函數，就必須給這個函數取一個名字。匿名函數想要實現遞歸，就得取一個臨時的名字。所謂臨時，指這個名字只在此函數體內有效，函數執行完成后，這個名字就伴隨函數一起消失。為解決這個問題，第一篇文章中[1]強制規定匿名函數有一個隱藏的名字this指向自己，這導致this這個變量名被強行占用，並不優雅，因此第二篇文章[2]借鑒Clojure的方法，允許自定義一個名字。
但在Lambda演算中，只有最普通的Lambda，沒有賦值語句，如何綁定一個名字呢？答案是使用Lambda的參數列表！
(lambda (factorial) (lambda (n) (if (zero? n) 1 (* n (factorial (- n 1))))))3 生成階乘函數的函數
雖然通過參數列表，即使用閉包技術給匿名函數取了一個名字，但此函數並不是我們想要的階乘函數，而是階乘函數的元函數（meta-factorial），即生成階乘函數的函數。因此需要執行這個元函數，獲得想要的階乘函數：
((lambda (factorial) (lambda (n) (if (zero? n) 1 (* n (factorial (- n 1)))))) xxx)此時又出現另一個問題：實參xxx，即形參factorial該取什么值？從定義來看，factorial就是函數自身，既然是“自身”，首先想到的就是復制一份一模一樣的代碼：
((lambda (factorial) (lambda (n) (if (zero? n) 1 (* n (factorial (- n 1)))))) (lambda (factorial) (lambda (n) (if (zero? n) 1 (* n (factorial (- n 1)))))))看起來已經把自己傳遞給了自己，但馬上發現 (factorial (- n 1)) 會失敗，因為此時的 factorial 不是一個階乘函數，而是一個包含階乘函數的函數，即要獲取包含在內部的函數，因此調用方式要改成 ((meta-factorial meta-factorial) (- n 1)) ：
((lambda (meta-factorial) (lambda (n) (if (zero? n) 1 (* n ((meta-factorial meta-factorial) (- n 1)))))) (lambda (meta-factorial) (lambda (n) (if (zero? n) 1 (* n ((meta-factorial meta-factorial) (- n 1)))))))把名字改成meta-factorial就能清晰地看出它是階乘的元函數，而不是階乘函數本身。
4 去除重復
以上代碼已經實現了lambda的自我調用，但其中包含重復的代碼，meta-factorial即做函數又做參數，即 (meta meta) ：
((lambda (meta) (meta meta)) (lambda (meta-factorial) (lambda (n) (if (zero? n) 1 (* n ((meta-factorial meta-factorial) (- n 1))))))) 5 提取階乘函數
因為我們想要的是階乘函數，所以用factorial取代 (meta-factorial meta-factorial) ，方法同樣是使用參數列表命名：
((lambda (meta) (meta meta)) (lambda (meta-factorial) ((lambda (factorial) (lambda (n) (if (zero? n) 1 (* n (factorial (- n 1)))))) (meta-factorial meta-factorial))))這段代碼還不能正常運行，因為Scheme以及其他主流的編程語言實現都采用“應用序”，即執行函數時先計算參數的值，因此 (meta-factorial meta-factorial) 原來是在求階乘的過程中才被執行，現在提取出來后執行的時間被提前，於是陷入無限循環。解決方法是把它包裝在Lambda中（你學到了Lambda的另一個用處：延遲執行）。
((lambda (meta) (meta meta)) (lambda (meta-factorial) ((lambda (factorial) (lambda (n) (if (zero? n) 1 (* n (factorial (- n 1)))))) (lambda args (apply (meta-factorial meta-factorial) args)))))此時，代碼中第4行到第8行正是最初定義的匿名遞歸階乘函數，我們終於得到了階乘函數本身！
6 形成模式
如果把其中的階乘函數作為一個整體提取出來，那就是得到一種“模式”，即能生成任意匿名遞歸函數的模式：
((lambda (fn) ((lambda (meta) (meta meta)) (lambda (meta-fn) (fn (lambda args (apply (meta-fn meta-fn) args)))))) (lambda (factorial) (lambda (n) (if (zero? n) 1 (* n (factorial (- n 1)))))))Lambda演算中稱這個模式為Y組合子（Y-Combinator），即：
(define (y-combinator fn) ((lambda (meta) (meta meta)) (lambda (meta-fn) (fn (lambda args (apply (meta-fn meta-fn) args))))))有了Y組合子，我們就能定義任意的匿名遞歸函數。前文中定義的是遞歸求階乘，再定義一個遞歸求斐波那契數：
(y-combinator (lambda (fib) (lambda (n) (if (< n 3) 1 (+ (fib (- n 1)) (fib (- n 2)))))))二 10種實現
下面用10種不同的編程語言實現Y組合子，以及Y版的遞歸階乘函數。實際開發中可能不會用上這樣的技巧，但這些代碼分別展示了這10種語言的諸多語法特性，能幫助你了解如何在這些語言中實現以下功能：
- 如何定義匿名函數；
- 如何就地調用一個匿名函數；
- 如何將函數作為參數傳遞給其他函數；
- 如何定義參數數目不定的函數；
- 如何把函數作為值返回；
- 如何將數組里的元素平坦開來傳遞給函數；
- 三元表達式的使用方法。
這10種編程語言，有Python、PHP、Perl、Ruby等大家耳熟能詳的腳本語言，估計最讓大家驚訝的應該是其中有Java！
1 Scheme
我始終覺得Scheme版是這么多種實現中最優雅的！它沒有“刻意”的簡潔，讀起來很自然。
(define (y-combinator f) ((lambda (u) (u u)) (lambda (x) (f (lambda args (apply (x x) args)))))) ((y-combinator (lambda (factorial) (lambda (n) (if (zero? n) 1 (* n (factorial (- n 1))))))) 10) ; => 36288002 Clojure
其實Clojure不需要借助Y-Combinator就能實現匿名遞歸函數，它的lambda——fn——支持傳遞一個函數名，為這個臨時函數命名。也許Clojure的fn不應該叫匿名函數，應該叫臨時函數更貼切。
同樣是Lisp，Clojure版本比Scheme版本更簡短，卻讓我感覺是一種刻意的簡潔。我喜歡用fn取代lambda，但用稀奇古怪的符號來縮減代碼量會讓代碼的可讀性變差（我最近好像變得不太喜歡用符號，哈哈）。
(defn y-combinator [f] (#(% %) (fn [x] (f #(apply (x x) %&))))) ((y-combinator (fn [factorial] #(if (zero? %) 1 (* % (factorial (dec %)))))) 10)3 Common Lisp
Common Lisp版和Scheme版其實差不多，只不過Common Lisp屬於Lisp-2，即函數命名空間與變量命名空間不同，因此調用匿名函數時需要額外的funcall。我個人不喜歡這個額外的調用，覺得它是冗余信息，位置信息已經包含了角色信息，就像命令行的第一個參數永遠是命令。
(defun y-combinator (f) ((lambda (u) (funcall u u)) (lambda (x) (funcall f (lambda (&rest args) (apply (funcall x x) args)))))) (funcall (y-combinator (lambda (factorial) (lambda (n) (if (zerop n) 1 (* n (funcall factorial (1- n))))))) 10)4 Ruby
Ruby從Lisp那兒借鑒了許多，包括它的缺點。和Common Lisp一樣，Ruby中執行一個匿名函數也需要額外的“.call”，或者使用中括號“[]”而不是和普通函數一樣的小括號“()”，總之在Ruby中匿名函數與普通函數不一樣！還有繁雜的符號也影響我在Ruby中使用匿名函數的心情，因此我會把Ruby看作語法更靈活、更簡潔的Java，而不會考慮寫函數式風格的代碼。
def y_combinator(&f)
lambda {|&u| u[&u]}.call do |&x| f[&lambda {|*a| x[&x][*a]}] end end y_combinator do |&factorial| lambda {|n| n.zero? ? 1: n*factorial[n-1]} end[10]5 Python
Python中匿名函數的使用方式與普通函數一樣，就這段代碼而言，Python之於Ruby就像Scheme之於Common Lisp。但Python對Lambda的支持簡直弱爆了，函數體只允許有一條語句！我決定我的工具箱中用Python取代C語言，雖然Python對匿名函數的支持只比C語言好一點點。
def y_combinator(f): return (lambda u: u(u))(lambda x: f(lambda *args: x(x)(*args))) y_combinator(lambda factorial: lambda n: 1 if n < 2 else n * factorial(n-1))(10)6 Perl
我個人對Perl函數不能聲明參數的抱怨更甚於繁雜的符號！
sub y_combinator { my $f = shift; sub { $_[0]->($_[0]); }->(sub { my $x = shift; $f->(sub { $x->($x)->(@_); }); }); } print y_combinator(sub { my $factorial = shift; sub { $_[0] < 2? 1: $_[0] * $factorial->($_[0] - 1); }; })->(10);假設Perl能像其他語言一樣聲明參數列表，代碼會更簡潔直觀：
sub y_combinator($f) { sub($u) { $u->($u); }->(sub($x) { $f->(sub { $x->($x)->(@_); }); }); } print y_combinator(sub($factorial) { sub($n) { $n < 2? 1: $n * $factorial->($n - 1); }; })->(10);7 JavaScript
JavaScript無疑是腳本語言中最流行的！但冗長的function、return等關鍵字總是刺痛我的神經：
var y_combinator = function(fn) { return (function(u) { return u(u); })(function(x) { return fn(function() { return x(x).apply(null, arguments); }); }); }; y_combinator(function(factorial) { return function(n) { return n <= 1? 1: n * factorial(n - 1); }; })(10);ES6提供了 => 語法，可以更加簡潔：
const y_combinator = fn => (u => u(u))(x => fn((...args) => x(x)(...args))); y_combinator(factorial => n => n <= 1? 1: n * factorial(n - 1))(10);8 Lua
Lua和JavaScript有相同的毛病，最讓我意外的是它沒有三元運算符！不過沒有使用花括號讓代碼看起來清爽不少~
function y_combinator(f) return (function(u) return u(u) end)(function(x) return f(function(...) return x(x)(...) end) end) end print(y_combinator(function(factorial) return function(n) return n < 2 and 1 or n * factorial(n-1) end end)(10))注意：Lua版本為5.2。5.1的語法不同，需將 x(x)(...) 換成 x(x)(unpack(arg))。
9 PHP
PHP也是JavaScript的難兄難弟，function、return……
此外，PHP版本是腳本語言中符號（$、_、()、{}）用的最多的！是的，比Perl還多。
function y_combinator($f) { return call_user_func(function($u) { return $u($u); }, function($x) use ($f) { return $f(function() use ($x) { return call_user_func_array($x($x), func_get_args()); }); }); } echo call_user_func(y_combinator(function($factorial) { return function($n) use ($factorial) { return ($n < 2)? 1: ($n * $factorial($n-1)); }; }), 10);10 Java
最后，Java登場。我說的不是Java 8，即不是用Lambda表達式，而是匿名類！匿名函數的意義是把代碼塊作為參數傳遞，這正是匿名類所做得事情。
