二叉樹創建后，如何使用遞歸和棧遍歷二叉樹？

0. 前言

前文【二叉樹的概念和原理】主要介紹了樹的相關概念和原理，本文主要內容為二叉樹的創建及遍歷的代碼實現，其中包括遞歸遍歷和棧遍歷。

1. 二叉樹的實現思路

1.0. 順序存儲——數組實現

前面介紹了滿二叉樹和完全二叉樹，我們對其進行了編號——從 0 到 n 的不中斷順序編號，而恰好，數組也有一個這樣的編號 —— 數組下標，只要我們把二者聯合起來，數組就能存儲二叉樹了。

那么非滿、非完全二叉樹怎么使用數組存儲呢？

我們可以在二叉樹中補上一些虛構的結點，構造出來一個滿/完全二叉樹來，存儲到數組中時，虛構的結點對應的數組元素不存儲數據（# 代表虛構的不存在）。如下圖：

這樣存儲的缺點是，數組中可能會有大量空間未用到，造成浪費。

1.1. 鏈式存儲——鏈表實現

我們畫樹的圖時，采用的都是結點加箭頭的方式，結點表示數據元素，箭頭表示結點之間的關系，清晰明了。如果你對鏈表熟悉，那么肯定能覺察到這是典型的鏈式結構。鏈式結構完美解決了順序結構中可能會浪費空間的缺點，而且也不會有數組空間限制。

下面來分析一下結點的結構。

樹的結點包括一個數據元素和若干指向其子樹分支。二叉樹的結點相對簡單，包括：

• 數據元素
• 左子樹分支（結點的左孩子）
• 右子樹分支（結點的右孩子）

怎么來實現呢？單鏈表的結點是使用一個指向其后繼結點的指針來表示其關系的。同樣地，我們也可以使用指針來表示結點和其左孩子、右孩子的關系。

分析到這，二叉樹的結點就清晰了：

• 一個存儲數據的變量——data
• 一個指向其左孩子結點的指針——left_child
• 一個指向其右孩子結點的指針——right_child

用 C 語言的結構體實現二叉樹的結點（為了方便起見，我們的數據全為字符類型）：

/*二叉樹的結點的結構體*/
typedef struct Node {
    char data; //數據域
    struct Node *left_child; //左孩子指針
    struct Node *right_child; //右孩子指針
} TreeNode;

2. 二叉樹的創造

二叉樹的定義是遞歸的定義，所以如果你想要創造一個二叉樹，也可以借助遞歸去創造。如何遞歸創造呢？在現實中，一棵樹先長根、再長枝干、最后長葉子。我們用代碼創造樹時，也遵守這個原則，即先創造根結點，然后左子樹，最后右子樹。整個過程和先序遍歷相似。

我以前寫過的文章中有二叉樹創建過程的動態圖，這里不再贅述。

這里以創造下圖中的樹為例：

說明：當我們看到如左圖的二叉樹時，要立即能腦補出對應的右圖。#結點是什么？

前面我們已經畫出了類似的圖，當時是 NULL 結點，它的作用是標識某個結點沒有孩子，它是我們虛構出來的。在實際使用 C 語言創造二叉樹時，需要使用 #或者什么其他的符號來代替 NULL.

上圖的先序遍歷順序為：ABDEGCF，如果加上 # 結點，則為：ABD##EG###C#F##. 我們按照此順序來創造二叉樹。

代碼如下：

/**
 * 創造一個二叉樹
 * root: 指向根結點的指針的指針
 */
void create_binary_tree(TreeNode **root)
{
    char elem;
    scanf("%c", &elem);
    if (elem == '#') {
        *root = NULL;
    } else {
        *root = create_tree_node(elem); //創造一個二叉結點
        create_binary_tree(&((*root)->left_child));
        create_binary_tree(&((*root)->right_child));
    }
}

請注意，函數 create_binary_tree 接受的是一個指向根結點的指針的指針，至於為什么要使用指針的指針，理由在介紹單鏈表的初始化時已經解釋了。

3. 二叉樹的遍歷

在文章【二叉樹的概念和原理】中已經介紹了遍歷的原理了，下面使用 C 語言實現它。

3.0. 遍歷實質

二叉樹的定義是遞歸的定義，即在二叉樹的定義中又用到了二叉樹的定義。所以無論是在創造二叉樹，還是在遍歷二叉樹，我們要做的只有三件事：訪問根結點、找左子樹、找右子樹。所謂先序、中序、后序遍歷，無非是這三件事的順序罷了。

3.1. 遞歸實現

我們如果使用遞歸代碼，很容易就能實現遍歷，而且代碼非常簡潔。

【先序遍歷】

/**
 * 先序遍歷
 * root: 指向根結點的指針
 */
void preorder_traversal(TreeNode *root)
{
    if (root == NULL) { //若二叉樹為空，做空操作
        return;
    }
    printf("%c ", root->data); //訪問根結點
    preorder_traversal(root->left_child); //遞歸遍歷左子樹
    preorder_traversal(root->right_child); //遞歸遍歷右子樹
}

【中序遍歷】

/**
 * 中序遍歷
 * root: 指向根結點的指針
 */
void inorder_traversal(TreeNode *root)
{
    if (root == NULL) { //若二叉樹為空，做空操作
        return;
    }
    inorder_traversal(root->left_child); //遞歸遍歷左子樹
    printf("%c ", root->data); //訪問根結點
    inorder_traversal(root->right_child); //遞歸遍歷右子樹
}

【后序遍歷】

/**
 * 后序遍歷
 * root: 指向根結點的指針
 */
void postorder_traversal(TreeNode *root)
{
    if (root == NULL) { //若二叉樹為空，做空操作
        return;
    }
    postorder_traversal(root->left_child); //遞歸遍歷左子樹
    postorder_traversal(root->right_child); //遞歸遍歷右子樹
    printf("%c ", root->data); //訪問根結點
}

事實上，大部分使用遞歸做的事，使用棧也可以做到。下面介紹遍歷的棧實現。

3.2. 棧實現

我們利用了棧的后進先出的特性，

棧實現的代碼較復雜，受篇幅限制，這里只介紹先序遍歷和后序遍歷，詳細代碼請移步至代碼倉庫查看。

【先序遍歷】

我們的樹的結點是要全部都入棧的（暫不管順序如何），那么入棧的條件是什么？就是該結點可以被看作某棵樹（子樹）的根結點的時候。即，curr 指針指向的結點一定為某顆樹（子樹）的根結點。

在【二叉樹的概念和原理】中，我們已經看到了，遍歷完某個子樹時，一定要回到其雙親結點。這種回溯如何實現？可以利用棧的先進后出、后進先出的特點，這個特點能在棧中完美保存結點在樹中父子關系，棧頂元素即為當前子樹的雙親結點。

/**
 * 使用棧實現的先序遍歷
 */
void preorder_traversal_by_stack(TreeNode *root)
{
    //創造並初始化棧
    Stack stack;
    init_stack(&stack);
    
    TreeNode *curr = root; //輔助指針curr

    while (curr != NULL || !stack_is_empty(&stack)) {
        while (curr != NULL) {
            printf("%c", curr->data); //打印根結點
            push(&stack, curr); //根結點入棧
            curr = curr->left_child; //進入左子樹
        }
        if (!stack_is_empty(&stack)) {
            pop(&stack, &curr); //出棧，回到上一個根結點
            curr = curr->right_child; //進入右子樹
        }
    }
}

【后序遍歷】

后序遍歷相較於前序和中序較為麻煩，不像前序和中序遍歷那樣。因為前序和種序的根結點在右子樹之前，所以我們可以在出棧的時候同時進行打印根結點和進入右子樹。

后序遍歷的根結點在右子樹之后，這就要求我們再遍歷完左子樹后，先返回到根結點，然后進入右子樹，遍歷完右子樹之后，再回到根結點，才能打印它。

關鍵之處還在於左子樹、右子樹、根結點的順序。

所以當 curr 指針遍歷完左子樹后，我們不能直接將根結點出棧，而是先從棧頂讀取到根結點，然后 curr 指針返回到根結點，然后 curr 指針進入右子樹進行遍歷，當右子樹遍歷完成后，將根結點出棧，才能打印根結點。

這樣一來，后序遍歷就有兩次回到根結點的動作，且這兩次的后續動作不一樣。第一次通過讀取棧頂回到根結點，然后進入右子樹；第二次通過出棧回到根結點，然后打印根結點。

這樣看似解決了后序遍歷的順序問題，但其實又得到了一個新的問題，即，我們如何知道右子樹被遍歷完了？

我們有兩次回到根結點的動作，對於寫代碼的人來說，我們知道兩次回到根結點之后該干什么，知道右子樹是否被遍歷完了。但是對於 curr 指針來說，它不知道，兩次回到根結點，它都不知道右子樹是否被遍歷完成了。

此時，對於curr 指針來說，就像有兩條路擺在它面前讓它選擇其中一條，它難以抉擇。如果當其中一條有過它的腳印，那么它就很容易選擇那條沒走過的路了。

所以我們現在還需要一個“腳印”指針——prev，prev指針用來記錄 curr訪問過的結點。

當 curr 指針第二次回到根結點的時候，一看，哦！我的腳印留在那呢！（prev 指針指在右子樹那里）curr 指針就直接放心打印根結點了。

/**
 * 使用棧實現的后序遍歷
 */
void postorder_traversal_by_stack(TreeNode *root)
{
    Stack stack;
    init_stack(&stack);

    TreeNode *curr = root; //輔助指針curr，記錄當前訪問結點
    TreeNode *prev = NULL; //腳印指針prev，記錄上一個訪問過的結點

    while (curr != NULL || !stack_is_empty(&stack)) {
        if (curr != NULL) {
            push(&stack, curr); //根結點入棧
            curr = curr->left_child; //進入左子樹
        } else {
            get_top(&stack, &curr); //讀棧頂元素，不是出棧
            //右子樹不為空，且右子樹沒被遍歷
            if (curr->right_child != NULL && curr->right_child != prev) { 
                curr = curr->right_child; //進入右子樹
                push(&stack, curr); //根結點入棧
                curr = curr->left_child; //進入左子樹
            } else { //右子樹已被遍歷或者右子樹為空，可以打印根結點了
                pop(&stack, &curr); //根結點出棧
                printf("%c", curr->data); //打印根結點
                prev = curr; //記錄
                curr = NULL; //置空，進入下一輪循環
            }
        }
    }
}

以上代碼中的棧的相關函數這里不再給出，詳細代碼請移步至代碼倉庫（文末獲取）。

4. 總結

遞歸的代碼雖然簡潔，但是對新手來說卻有點難以理解，這是因為接觸的太少。棧的代碼相對來說容易理解一些，但代碼比較復雜，特別是后序遍歷的代碼。

不過當你真正理解了二叉樹的定義、概念、原理之后，代碼相關的問題就不再是問題了，最終只落在六個字上——無他，惟手熟爾。

以上就是二叉樹的創建和遍歷的實現。

完整代碼請移步至 GitHub | Gitee 獲取。

如有錯誤，還請指正。

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