在講解遞歸函數之前我們先了解一下棧堆
單獨講棧堆是數據結構
- 棧：后進先出的一種數據結構
- 堆：排序后的一種樹狀數據結構
棧區堆區是內存空間
- 棧區：按照后進先出的數據結構(棧)，無論創建或銷毀都是自動為數據分配內存，釋放內存(系統自動做的)
- 堆區：按照排序后的樹狀數據結構(堆)，可優先取出必要數據，無論創建或銷毀都是手動分配內存，釋放內存(程序員手動做的)
- 內存中的棧區： 自動分配 自動釋放
- 內存中的堆區： 手動分配 手動釋放
運行程序時在內存中執行，會因為數據類型的不同而在內存的不同區域運行，因不同語言對內存划分的機制不一，但大體來講，有如下四大區域：
- 棧區：分配局部變量空間。
- 堆區：是用於手動分配程序員申請的內存空間。
- 靜態區(全局棧區)：分配靜態變量，全局變量空間。
- 代碼區(只讀區，常量區)：分配常量和程序代碼空間的。
棧區 堆區 靜態區 代碼區 都是內存中的一段空間
遞歸函數
在函數內部，可以調用其他函數。如果一個函數在內部調用自身本身，這個函數就是遞歸函數。
舉個例子，我們來計算階乘n! = 1 x 2 x 3 x ... x n，用函數func(n)表示，可以看出：
func(n)=n!=1×2×3×⋅⋅⋅×(n−1)×n=(n−1)!×n=func(n−1)×n
所以，func(n)可以表示為n x func(n-1)，只有n=1時需要特殊處理。
於是，func(n)用遞歸的方式寫出來就是：
def func(n):
if n==1:
return 1
return n * func(n - 1)
上面就是一個遞歸函數。可以試試：
print(func(1))
# 1
print(func(5))
# 120
print(func(100))
# 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
如果我們計算func(5)，可以根據函數定義看到計算過程如下：
遞歸函數的優點是定義簡單，邏輯清晰。理論上，所有的遞歸函數都可以寫成循環的方式，但循環的邏輯不如遞歸清晰。
使用遞歸函數需要注意防止棧溢出。在計算機中，函數調用是通過棧（stack）這種數據結構實現的，每當進入一個函數調用，棧就會加一層棧幀，每當函數返回，棧就會減一層棧幀。由於棧的大小不是無限的，所以，遞歸調用的次數過多，會導致棧溢出。可以試試func(1000)：
print(func(1000))
'''
Traceback (most recent call last):
File "D:/python_project/mxxl/test/test.py", line 7, in <module>
print(func(1000))
File "D:/python_project/mxxl/test/test.py", line 4, in func
return n * func(n - 1)
File "D:/python_project/mxxl/test/test.py", line 4, in func
return n * func(n - 1)
File "D:/python_project/mxxl/test/test.py", line 4, in func
return n * func(n - 1)
[Previous line repeated 995 more times]
File "D:/python_project/mxxl/test/test.py", line 2, in func
if n==1:
RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison
'''
解決遞歸調用棧溢出的方法是通過尾遞歸優化。
尾遞歸
事實上尾遞歸和循環的效果是一樣的，所以，把循環看成是一種特殊的尾遞歸函數也是可以的。
尾遞歸是指，在函數返回的時候，調用自身本身，並且，return語句不能包含表達式。
這樣，編譯器或者解釋器就可以把尾遞歸做優化，使遞歸本身無論調用多少次，都只占用一個棧幀，不會出現棧溢出的情況。
上面的func(n)函數由於return n * func(n - 1)引入了乘法表達式，所以就不是尾遞歸了。要改成尾遞歸方式，需要多一點代碼，主要是要把每一步的乘積傳入到遞歸函數中：
def func(n):
return func_iter(n, 1)
def func_iter(num, product):
if num == 1:
return product
return func_iter(num - 1, num * product)
可以看到，return func_iter(num - 1, num * product)僅返回遞歸函數本身，num - 1和num * product在函數調用前就會被計算，不影響函數調用。
func(5)對應的func_iter(5, 1)的調用如下：
尾遞歸調用時，如果做了優化，棧不會增長，因此，無論多少次調用也不會導致棧溢出。
遺憾的是，大多數編程語言沒有針對尾遞歸做優化，Python解釋器也沒有做優化，所以，即使把上面的func(n)函數改成尾遞歸方式，也會導致棧溢出。