螺旋線

定義

本文的情景下，圓弧都是在特定的平面下定義的，比如X-Y平面、Y-Z平面、Z-X平面。圓弧的一些屬性，比如圓心、半徑、圓心角、圓弧上某一點的向量角等都是在平面上定義的。以下是一些概念的說明：

• 起點半徑：圓弧起點到圓心的距離
• 終點半徑：圓弧終點到圓心的距離
• 螺線：當圓弧的起點半徑與終點半徑不相等，且圓弧從起點到終點的半徑隨着角度呈線性變化，此時圓弧被認為是螺線
  
• 螺旋：當圓弧還具有垂直於平面的高度時，且高度隨着角度呈線性變化，此時圓弧被認為是螺旋
  
• 螺距：螺旋每走一圈的高度差
• 圓錐線：當圓弧既是螺線又是螺旋時，圓弧被認為是圓錐線
  

公式推導

螺旋

螺旋的長度：

\[L = \sqrt {(R*\theta_0)^2+H^2} \]

其中，螺旋高度\(H\)，圓弧半徑\(R\)。

螺旋的切向向量：

\[\begin{cases} \frac {dx}{d\theta}=-R\sin\theta \\ \frac {dy}{d\theta}=R\cos\theta \\ \frac {dz}{d\theta}=\frac {H}{\theta_0} = S \end{cases} \]

螺旋的曲率向量：\(\frac {R}{(\sqrt{R^2+S^2})^3} (S\sin\theta,-S\cos\theta, R)\)

曲率公式（分子的模去掉即為曲率向量）：

\[k=\frac {|r'(t) \times r''(t)|}{|r'(t)|^3} \]

螺線

螺線的數學模型：

\[R = \frac{Re * \theta + Rs(\theta_0-\theta)}{\theta_0} = a * \theta + Rs \tag1 \]

其中，起點半徑\(Rs\)，終點半徑\(Re\)，圓心角\(\theta_0\)，\(a\)為圓弧半徑隨圓心角的變化率。

螺線長度微分：

\[dxy=\sqrt{(Rd\theta)^2+(dR)^2}=\sqrt{R^2+a^2}d\theta \tag2 \]

將公式(1)代入公式(2)可化簡為公式(3)的形式

\[dxy=\sqrt{A\theta^2+B\theta+C}d\theta \tag3 \]

其中，\(A=a^2, B=2aRs, C=a^2+Rs^2\)

套用下圖中的積分公式進行積分即可得到螺線長度：

公式證明中有部分錯誤，請讀者自己注意甄別。

圓錐線

圓錐線就是在螺線的基礎上加一個軸的分量。

\[dxyz=\sqrt{A\theta^2+B\theta+C}d\theta \]

其中，\(A=a^2, B=2aRs, C=a^2+Rs^2+S^2\)，\(S\)為圓弧高度隨圓心角的變化率。

然后同樣按照上一節的積分公式進行積分得到圓錐線長度。

圓錐線的切向向量和曲率向量按照公式代入推導即可，下面直接給出結果。

圓錐線的切向向量：

\[\begin{cases} \frac {dx}{d\theta}=-R\sin\theta +a\cos\theta \\ \frac {dy}{d\theta}=R\cos\theta+a\sin\theta \\ \frac {dz}{d\theta}=\frac {H}{\theta_0} = S \end{cases} \]

圓錐線的曲率向量：\(\frac {1}{(\sqrt{R^2+S^2+a^2})^3} (S(R\sin\theta-2a\cos\theta),-S(R\cos\theta+2a\sin\theta), R^2+2a^2)\)

\(S=0\)代入以上公式即為螺線的結果。