一類圖上二選一構造問題
CF1198C Matching vs Independent Set
題目大意：
給定一張 \(3\cdot n\) 個節點、\(m\) 條邊，無自環、無重邊的無向連通圖。
定義一個匹配是一個邊的集合，滿足其中任意兩條邊沒有公共端點。
定義一個獨立集是一個點的集合，滿足其中任意兩個點沒有邊直接相連。
請你找出一個 \(n\) 條邊的匹配，或一個 \(n\) 個點的獨立集。
數據范圍：\(1\leq n\leq 10^5\)，\(0\leq m\leq 5\cdot 10^5\)。
容易想到去求最大匹配。但是求一般圖最大匹配的帶花樹算法時間復雜度是 \(\mathcal{O}(n^3)\) 的。
考慮退而求其次，找出任意一個極大匹配。具體來說：我們每次取出一條邊，並將它的兩個端點刪掉（一個點被刪掉后，所有與它相連的邊也被刪掉），如此重復直到圖上沒有邊為止。顯然：
- 被我們取出的邊，是一個匹配。因為一個點第一次被取到后，所有和它相連的邊就都被刪掉了，所以取出的邊之間不會有公共點。
- 最終剩下的點，是一個獨立集。首先，最終狀態下，剩下的點之間肯定沒有邊（否則就還能繼續取）。並且它們之間原來也不會有邊，因為原圖上的一條邊，不會在兩個端點都未被刪除的情況下，平白無故消失。
考慮最終我們取出的邊的數量，記為 \(k\)。
- 若 \(k \geq n\)，則我們已經找出了一個 \(n\) 條邊的匹配。
- 若 \(k < n\)，因為這 \(k\) 條邊是匹配，所以沒有公共端點，所以它們恰好占用了 \(2k\) 個點，所以還剩下 \(3n - 2k \geq n\) 個點。這意味着我們找出了一個 \(n\) 個點的獨立集。
綜上所述，一定有解。
時間復雜度 \(\mathcal{O}(n + m)\)。
CF1364D Ehab's Last Corollary
題目大意：
給出一張 \(n\) 個點的無向連通圖和一個常數 \(k\)。
你需要解決以下兩個問題的任何一個：
- 找出一個大小為 \(\lceil\frac{k}{2}\rceil\) 的獨立集。
- 找出一個大小不超過 \(k\) 的簡單環。
獨立集是一個點的集合，滿足其中任意兩點之間在原圖上沒有邊直接相連。
可以證明這兩個問題必然有一個可以被解決。
數據范圍：\(3\leq k\leq n\leq10^5\)，\(n - 1\leq m\leq 2\cdot 10^5\)（邊數）。
以任意點為根，建出 DFS 樹。如果我們將每條邊按照第一次經過時的方向進行定向，則無向圖的 DFS 樹滿足所有非樹邊都是后向邊（即從一個節點連向其祖先的邊）。
如果存在一條非樹邊 \((u, v)\)（\(v\) 是 \(u\) 的祖先），滿足 \(\mathrm{dep}(u) - \mathrm{dep}(v) < k\)，則取 \((u, v)\) 加上 \(v\) 到 \(u\) 的樹上路徑即為一個長度不超過 \(k\) 的簡單環。
否則我們直接將節點按照深度的奇偶性划分為兩個集合。在其中較大的一個集合里，把節點按 DFS 時訪問的順序排列，取任意連續的 \(\lceil\frac{k}{2}\rceil\) 個點，就是一個大小為 \(\lceil\frac{k}{2}\rceil\) 的獨立集，證明如下：
- 首先根據鴿巢原理，這個“較大的集合”，大小一定大於等於 \(\lceil\frac{k}{2}\rceil\)。
- 下面證明它是獨立集：
- 因為任意一條樹邊的兩個端點，深度的奇偶性一定不同。所以上述做法得到的集合里，不存在兩個點被樹邊相連。
- 對於一條非樹邊的兩個端點 \((u, v)\)（\(v\) 是 \(u\) 的祖先），設 \(d = \mathrm{dep}(u) - \mathrm{dep}(v)\)，那么必有：\(d\geq k\)。把節點按 DFS 順序排列后，\(u, v\) 之間至少有 \(d + 1\) 個點。如果想要同時取到 \(u, v\)，就必須取至少 \(\lceil\frac{d + 1}{2}\rceil\) 個點。而我們只取了 \(\lceil\frac{k}{2}\rceil\) 個點。\(k\) 為奇數且 \(d = k\) 時，\(u, v\) 深度奇偶性不同，不會被同時取到；否則 \(k\) 為偶數或 \(d > k\)，那么必有 \(\lceil\frac{d + 1}{2}\rceil > \lceil\frac{k}{2}\rceil\)。綜上，\(u, v\) 不會被同時取到。
時間復雜度 \(\mathcal{O}(n + m)\)。
CF1325F Ehab's Last Theorem
題目大意：
給出一張 \(n\) 個點的無向連通圖。
你需要解決以下兩個問題的任何一個：
- 找出一個大小為 \(\lceil\sqrt{n}\rceil\) 的獨立集。
- 找出一個大小至少為 \(\lceil\sqrt{n}\rceil\) 的簡單環。
獨立集是一個點的集合，滿足其中任意兩點之間在原圖上沒有邊直接相連。
可以證明這兩個問題必然有一個可以被解決。
數據范圍：\(5\leq n\leq10^5\)，\(n - 1\leq m\leq 2\cdot 10^5\)（邊數）。
設 \(S = \lceil\sqrt{n}\rceil\)。顯然 \(S \geq 3\)。
以任意點為根，建出 DFS 樹。如果我們將每條邊按照第一次經過時的方向進行定向，則無向圖的 DFS 樹滿足所有非樹邊都是后向邊（即從一個節點連向其祖先的邊）。
如果存在一條非樹邊 \((u, v)\)（\(v\) 是 \(u\) 的祖先），滿足 \(\mathrm{dep}(u) - \mathrm{dep}(v) \geq S - 1\)，則取 \((u, v)\) 加上 \(v\) 到 \(u\) 的樹上路徑即為一個大小至少為 \(S\) 的簡單環，可以完成任務 2。
否則，將節點按照深度 \(\bmod (S - 1)\) 的值，划分為 \(S - 1\) 類。此時，同一類節點如果是祖先 - 后代關系，那么它們在樹上深度差至少為 \(S - 1\)，因此同一類節點之間一定沒有邊相連。
根據鴿巢原理，至少有一類節點的數量 \(\geq \lceil\frac{n}{S - 1}\rceil\geq S\)，於是我們就找到了一個大小至少為 \(S\) 的獨立集，任取其中 \(S\) 個節點，即可完成任務 1。
時間復雜度 \(\mathcal{O}(n + m)\)。
CF1391E Pairs of Pairs
題目大意：
給定一張 \(n\) 個節點、\(m\) 條邊，無自環、無重邊的無向連通圖。
考慮將其中的一些節點配對，使得每個節點至多只出現在一對中。如果對於任意兩對節點，這 \(4\) 個點的生成子圖至多只有 \(2\) 條邊，則稱該配對方案是合法的。
你需要解決以下兩個問題的任何一個：
- 找出一條包含至少 \(\lceil\frac{n}{2}\rceil\) 個節點的簡單路徑。
- 找出一組包含至少 \(\lceil\frac{n}{2}\rceil\) 個節點的合法的配對方案。
可以證明這兩個問題必然有一個可以被解決。
數據范圍：\(2\leq n\leq 5\cdot 10^5\)，\(1\leq m\leq 10^6\)。
設 \(l = \lceil\frac{n}{2}\rceil\)。
以任意點為根，建出 DFS 樹。
定義一個節點的深度為，它到根路徑上的點數。
設深度最大的點深度為 \(d\)。若 \(d \geq l\)，則直接取深度最大的點到根的路徑，即可完成任務 1。
否則將節點按照深度分為 \(d\) 類。對於同一類點（也就是樹上同一層里的點），記它們為 \(\{u_1, u_2, \dots, u_k\}\)，則依次配對：\((u_1, u_2), (u_3, u_4), \dots\)。若本層里的點數 \(k\) 為偶數，則恰好配完，否則會浪費一個。因為層數 \(d\leq l - 1\)，所以最多只會浪費 \(l - 1\) 個，也就是用到的節點數量 \(\geq n - (l - 1)\geq l\)。
又因為無向圖的 DFS 樹上不存在橫叉邊，所以對於任意兩對節點，這 \(4\) 個點的生成子圖至多只有 \(2\) 條邊。符合任務 2 的要求。
CF1439B Graph Subset Problem
題目大意：
給定一張 \(n\) 個點 \(m\) 條邊的無自環、無重邊無向圖，以及一個正整數 \(k\)。
你需要解決以下兩個問題的任何一個：
- 找出一個大小為 \(k\) 的團。也就是找出 \(k\) 個節點使得它們的生成子圖是完全圖。
- 找出一個子圖，滿足子圖中任意節點都與至少 \(k\) 個同樣在子圖里的節點相連。
或者告知無解。
數據范圍：\(1\leq n, m, k\leq 10^5\)，\(k\leq n\)。
開始時，把所有點丟到一個 \(\texttt{set}\) 里。以度數為關鍵字。支持：查詢度數最小的點；修改一個點的度數（把原來的刪除，再把新的插入）。然后執行如下過程：
- 取出度數最小的點 \(u\)。
- 如果它的度數 $ < k - 1$，顯然它不可能被加入任何一種答案里，所以可以直接將這個點刪除（同時與它相連的所有邊也會被刪除）。注意，刪除 \(u\) 以后，其他與 \(u\) 有連邊的點，度數可能會改變。回到步驟 1。
- 如果它的度數 $ = k - 1$。考慮 \(u\) 和它的 \(k - 1\) 個鄰居，是否構成一個團。判斷的方式就是暴力枚舉 \(\frac{k(k - 1)}{2}\) 條邊，看它們是否都存在（判斷一條邊是否存在可以做到 \(\mathcal{O}(1)\)，見這篇文章）。如果是一個團，那么直接輸出。否則點 \(u\) 就不可能出現在答案里了，將它刪掉，回到步驟 1。
- 如果所有點的度數都 \(\geq k\)，那么整張圖就是一個“滿足第二種要求的子圖”，直接作為答案輸出即可。
在步驟 1 里，如果圖為空（沒有節點了），說明無解。
因為每次刪掉的都是絕不可能出現在答案里的點，所以上述做法的正確性是顯而易見的。
暴力判斷一個團的時間復雜度是 \(\mathcal{O}(k^2)\) 的，加起來是 \(\mathcal{O}(nk^2)\)。但是注意到，只有當 \(\frac{k(k - 1)}{2}\leq m\) 時，我們才需要判斷。並且度數 \(\geq k - 1\) 的點只有 \(\mathcal{O}(\frac{m}{k})\) 個，所以這部分的總復雜度是 \(\mathcal{O}(\frac{m}{k}\cdot k^2) = \mathcal{O}(m\sqrt{m})\)。
總時間復雜度 \(\mathcal{O}(n\log n + m\sqrt{m})\)。
LOJ3113 「SDOI2019」熱鬧的聚會與尷尬的聚會
題目大意：
給定一張 \(n\) 個點 \(m\) 條邊的簡單無向圖。請求出：
- 一個點集 \(A\)。設它的導出子圖里，度數最小的點的度數為 \(p\)。
- 一個點集 \(B\)，滿足它是原圖的一個獨立集。設它的大小為 \(q\)。
點集 \(A\) 和 \(B\) 可以有交，也可以有節點不在任何一個點集里。
你需要構造出這樣的兩個點集，使得 \(\lfloor\frac{n}{p + 1}\rfloor \leq q\) 且 \(\lfloor\frac{n}{q + 1}\rfloor \leq p\)。
數據范圍：\(T\leq 32\) 組測試數據。對於每組測試數據：\(1\leq n\leq 10^4\)，\(1\leq m\leq 10^5\)。
條件可以改寫成：\((p + 1)(q + 1) > n\)。因此顯然是 \(p, q\) 越大越好。
因為兩個點集互不影響，考慮獨立地將它們構造出來。也就是把 \(p, q\) 分別最大化。
先考慮最大化 \(p\)。首先將所有點都放入點集，此時 \(p\) 就是圖里度數最小的點的度數，記為 \(p_t\)。然后如果我們想要使 \(p\) 變得更大，則顯然必須刪去度數最小的點。將它刪去后，其他點的度數也會相應地變化。我們不斷重復此過程，直到圖被刪空為止。記下整個過程中 \(p_t\) 最大的時刻，將那一時刻的圖作為第一個點集。
最大化 \(q\) 則比較困難。【一般圖最大獨立集】本身是沒有多項式復雜度做法的。此時如果用模擬退火等隨機化算法，強行求“最大獨立集”，據說能得到不錯的分數，因為題目給出的界其實很松。拋開隨機，題目既然將兩個問題放在一起，說明他們之間肯定有內在聯系。於是結合上面的做法，去考慮求獨立集。
上面的做法里，我們每次會刪掉度數最小的點 \(u\)。並且在刪之前的時刻，\(p_t\) 就等於 \(u\) 的度數。現在我們對該做法進行一點點修改：
- 仍然每次選出度數最小的點 \(u\)。
- 將 \(u\) 加入第二個點集。
- 將所有與 \(u\) 相鄰的點從圖上刪去。
- 將點 \(u\) 從圖上刪去。
最后仍然取整個過程中 \(p_t\) 最大的時刻，將那一時刻的圖作為第一個點集。但是注意，無論取了哪個時刻作為第一個點集，這將不會影響第二個點集的選取：在該時刻之后發生的、向第二個點集里加點的操作，仍然有效。步驟 3 保證了我們求出的第二個點集是獨立集。
接下來問題的關鍵就是，這樣求出的 \(p, q\) 是否滿足大小的要求呢？
答案是肯定的。因為每當一個點 \(u\) 被加入獨立集，它會同時刪掉與它相鄰的點，也就是刪去的點數等於 \(u\) 的度數，等於彼時彼刻的 \(p_t\)。又因為最終作為答案的 \(p\) 是所有 \(p_t\) 里的最大值，所以每次被刪除的點數都不超過 \(p\) 。所以獨立集里的點數 \(q\geq \lceil\frac{n}{p + 1}\rceil\)，所以 \((p + 1)(q + 1) > n\)。
綜上，我們構造出了符合所有要求的答案。
每次取度數最小的點，並支持修改一個點的度數，可以用線段樹或 \(\texttt{set}\) 實現。時間復雜度 \(\mathcal{O}((n + m)\log n)\)。
總結
在圖上，題目問了你兩個看似無關的問題，然后讓你任選其中一個給出解（構造出滿足條件的方案）。這些問題可能是：
- 求滿足 ... 條件的簡單路徑。
- 求滿足 ... 條件的簡單環。
- 求滿足 ... 條件的子圖（獨立集，團，...）。
- 求滿足 ... 條件的邊集。
- ......
比較基礎的方法是：對其中一個任務，看出它所需的充分必要條件 \(X\)。判斷一下所給的圖，如果滿足 \(X\)，則直接輸出答案。否則問題轉化為：【給出一張圖，保證不滿足 \(X\)，請完成任務 2】。對着這個問題大力思考即可。如果不能一眼看出充分必要條件，那至少找一個充分條件。看看此時另一個任務是否必能完成。此外，還可以先嘗試解決其中一個任務。在解決的過程中，逐漸發現性質，或者發現兩個任務的內在聯系。
在無向圖上，DFS 樹是一個非常強大的工具，我們要善用它。
如果涉及到點的度數有關的問題，可以考慮每次把度數最小的點刪去，然后更新其他點的度數。