題解-CF1479

CF1479A Searching Local Minimum

類似二分答案的東西。維護一個滿足 \(a_l < a_{l - 1}, a_r < a_{r + 1}\) 的區間。這里面必然有一個局部極小值。

如果我們查詢 \(a_{mid - 1}, a_{mid}, a_{mid + 1}\)，要么得出 \(a_mid\) 是局部極小值，要么得出一個更小的這樣的區間。

aclink

CF1479B1 Painting the Array I，CF1479B2 Painting the Array II，

一模一樣，放在一起說得了。

以 B1 為例。

維護一個 \(dp\)，\(dp_{i, j}\) 表示算到第 \(i\) 個點，\(a^{(0)}\) 和 \(a^{(1)}\) 的最后兩個數是 \(a_i\) 和 \(j\)。

轉移分為兩類討論，第一類是 \(a_i\) 覆蓋了 \(a_{i - 1}\)，第二類是 \(a_i\) 沒有覆蓋 \(a_{i - 1}\) 。

\[dp_{i, j} = \begin{cases} dp_{i - 1, j} + [a_i \neq a_{i - 1}] (j \neq a_{i - 1})\\ \\max(dp_{i - 1, k} + [k \neq a_i]) (j = a_{i - 1}) \end{cases} \]

aclink1，aclink2

CF1479C Continuous City

可以立馬簡化題意，如果 \(L \neq 1\) 就把 \(1\) 號節點向 \(2\) 號節點連長度為 \(L - 1\) 的邊，接下來的起點就是 \(2\) 號了。這樣可以把轉化為要求路徑長度是 \([1, k]\) 的情況。

首先考慮一個嚴格弱化問題，如果要求路徑數量是 \(k\)？

考慮二進制拆分，第 \(f_t\) 個節點表示路徑數量是 \(2^t\) 的情況。對於節點 \(f_x\)，只要把起點連向他，\(\forall t < x, f_t\) 連向他即可。

對於終點，起點連向他，剩下的直接二進制拆分就好了。

這個拓展版本也就很好做了：第 \(f_t\) 個節點表示的是路徑長度是 \([1, 2^t]\) 的情況就可以輕松構造出來。

aclink

CF1479D Odd Mineral Resource

介紹兩種方法。

法 1

這是一個有關樹上數顏色的問題，用樹上莫隊。

對顏色編號進行分塊，塊內維護可能成為答案的顏色。

修改時，如果此顏色的出現次數是奇數，那么就認為這種顏色可能成為答案。

查詢的時候，對於整塊掃描可能成為答案的顏色。對於一個掃到的數 \(x\)，如果出現次數確實是奇數就停，否則就把 \(x\) 從可能成為答案的數中刪除。散塊暴力即可。

時間復雜度 \(\Theta(n \sqrt m)\)

喜提最劣解。

aclink

法 2

出現奇數次可以用異或來處理。

如果對於每一個元素，進行隨機賦值。我們查詢樹上 \(u\) 到 \(v\) 上，編號在 \(l\) 到 \(r\) 的權值異或和，如果是 \(0\) 那么我們就認為答案是 -1。

然后我們進行二分答案，查詢一下 \([l, mid]\)，如果異或和不是 \(0\) 就在 \([l, mid]\) 往下做，否則 \([mid + 1, r]\) 的異或和一定不是 \(0\)，在 \([mid + 1, r]\) 往下做。

這個可以主席樹維護。由於主席樹的優良性質，我們可以直接在主席樹上二分。時間復雜度 \(\Theta((n + m) \log n)\)

喜提最優解。

aclink

CF1479E School Clubs

設勢能函數 \(\phi(A) = \sum\limits_{i = 1}^n f(a_i)\)

設 \(s = \sum\limits_{i = 1}^n a_i\)。

單次操作勢能函數的期望變化量必然是 \(-1\)：

\[\sum\limits_{i = 1}^n \frac{a_i}{s} \frac{1}{2}( - f(a_i) + f(1) + f(a_i - 1) + \sum\limits_{j \neq i}^{n} \frac{a_j}{s} ( - f(a_i) + f(a_i - 1) - f(a_j) + f(a_j + 1)) = -1 \]

\[\sum\limits_{i = 1}^n \frac{a_i}{s} ( 2 - f(a_i) + f(1) + f(a_i - 1) + \frac{s - a_i}{s} (f(a_i - 1) - f(a_i)) + \frac{s - a_i}{s} (f(a_i + 1) - f(a_i))) = 0 \]

\[\frac{x}{s} ( 2 - f(x) + f(1) + f(x - 1) + \frac{s - x}{s} (f(x - 1) - f(x)) + \frac{s - x}{s} (f(x + 1) - f(x))) = 0 \]

對於 \(x = 0\)，那么已經滿足；對於 \(x \neq 0 :\)

\[2 s + f(1) s + (f(x - 1) - f(x)) s + (s - x) (f(x - 1) - f(x)) + (s - x) (f(x + 1) - f(x)) = 0 \]

\[f(x + 1) = \frac{- 2 s - f(1) s - (2s - x) f(x - 1) + (3s - x) f(x)}{s - x} \]

為了方便，讓 \(f(1) = -2\)。並且為了讓最終狀態下勢能函數是一定的，我們令 \(f(0) = 0\)。於是這個東西就可以遞推。

注意一個細節：我們用分數表示函數，可以避免每次都求一次逆元。