一、RSA引入:
RSA是什么，嗯，這是一個好問題，有沒有興趣啊
二、RSA的解釋：
RSA是一種加密方式，它是現代密碼學的代表（什么是現代密碼學，這個嗎，我感覺就是我們所使用的密碼的加密的方式之一可以這么理解）
那么到底什么是RSA，就叫我來給大家說一下吧
RSA加密算法是一種非對稱加密算法，所謂非對稱，就是指該算法加密和解密使用不同的密鑰，即使用加密密鑰進行加密、解密密鑰進行解密。
在RSA算法中，加密密鑰（即公開密鑰）PK是公開信息，而解密密鑰（即秘密密鑰）SK是需要保密的。
如果此時我們有一個極大整數做因數分解的難度決定了RSA算法的可靠性。理論上，只要其鑰匙的長度n足夠長，用RSA加密的信息實際上是不能被解破的。
RSA算法通常是先生成一對RSA密鑰，其中之一是保密密鑰，由用戶保存；
另一個為公開密鑰，可對外公開。
三、RSA的基礎數學概念（知識儲備），附python的代碼表示
1、互斥的概念
1、任意兩個質數構成互質關系，比如13和61
2、一個數是質數，另一個數只要不是前者的倍數，兩者就構成互質關系，比如3和10
3、如果兩個數之中，較大的那個數是質數，則兩者構成互質關系，比如97和57
4、p是大於1的奇數，則p和p-2構成互質關系，比如27和25
5、p是大於1的整數，則p和p-1構成互質關系，比如53和52
6、1和任意一個自然數是都是互質關系，比如1和99
將一個大的因數分解成2個質數，可以用以下的代碼進行驗證運行檢驗：
a=int(input())
for b in range(100):
for c in range(b,100):
if b%2!=0 and c%2!=0:
if b*c == a :
print(b,c)
#b,c的值可以換，不過要考慮運行時間的問題，也可以使用在線網站進行解密
在線網站的網址：http://www.jsons.cn/quality/
2、歐拉函數
1、特殊的， φ(1)=1。
2、如果n是質數，則 φ(n)=n-1 。因為質數與小於它的每一個數，都構成互質關系。比如5與1、2、3、4都構成互質關系。
3、如果n是質數的某一個次方，即 n = p^k (p為質數，k為大於等於1的整數)，則
比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 – 2^2 = 8-4 = 4。
代碼表示：
歐拉函數
import math
a=int(input())
for b in range(10):
for c in range(10):
if a == math.pow(b,c):
print(b,c)
d = math.pow(b,c)-math.pow(b,c-1)
print(d)
4、如果n可以分解成兩個互質的整數之積,即 n=p1×p2，則 φ(n)=φ(p1p2)=φ(p1)×φ(p2)。
代碼表示：
# 證明n=p1×p2與φ(n)=φ(p1p2)=φ(p1)×φ(p2)相同
import math
n=int(input())
p1=int(input())
p2=int(input())
def hs(w):
for b in range(10):
for c in range(10):
if w == math.pow(b,c):
d = math.pow(b,c)-math.pow(b,c-1)
print(d)
3、歐拉定理
歐拉定理是RSA算法的核心
這個式子的含義為:a的φ(n)次方除以n的余數為1
代碼表示：
歐拉定理
import math
a=int(input())
n=int(input())
for b in range(100):
for c in range(b,100):
if n == math.pow(b,c):
print(b,c)
d = math.pow(b,c)-math.pow(b,c-1)
print(d)
if pow(a,d)%n==1:
print("顯示正確")
else:
print("報錯")
4、模反函數
如果兩個正整數a和n互質，那么一定可以找到整數b(不一定唯一)，使得 ab-1 被n整除，或者說ab除以n的余數是1。
即 ab≡1(mod n), 這時，b就叫做a的“乘法逆元（乘法模反元素）”
比如，5和17互質，那么7就是5的模反元素,同時24、41、58...都是5的模反元素，即如果b是a的模反元素，則 b+kn 都是 a的模反元素
代碼表示：
模反元素
a=int(input())
for b in range(100):
for c in range(b,100):
if b%2!=0 and c%2!=0:
if b*c == a :
for n in range(100):
if (b*n)%c==1:
print(b,c)
print(n)
如果已經知道兩個質數：
a,b=map(int,input().split())
# a=int(input())
# b=int(input())
for n in range(100):
if (a*n) % b == 1:
print(a,b)
print(n)
5、明文and密文
1、明文(Plain Text):明文，是指沒有加密的文字（或者字符串），屬於密碼學術語。
2、密文(Cipher Text):密文是加了密的的文字。明文是加密之前的文字。
3、密文是對明文進行加密后的報文。
四、RSA四大基本公式
RSA小結（根據以上4個公式的小結）
| 公鑰 | （E,N） |
| 私鑰 | （D,N） |
| 密鑰對 | （E,D,N） |
| 加密 | 密文＝明文EmodN密文＝明文EmodN |
| 解密 | 明文＝密文DmodN明文＝密文DmodN |
RSA我認為的重點：
求p，q，n，e，d，一般情況是已知p，q，e求n，d 這個是我認為最重要的
怎么求：
(1)隨機選擇兩個不相等的質數p和q
我們選擇61和53,在實際應用中,這兩個質數越大就越難破解。
(2)計算p和q的乘積n
n=61*53=3233
3233寫成二進制是110010100001共12位,故該密鑰是12位的,目前主流可選值：1024、2048、3072、4096...低於1024bit的密鑰已經不建議使用（安全問題）。
(3)計算n的歐拉函數φ(n)
因為n = p*q,由歐拉函數的小性質 ,
如果n=p×q且p、q互質,則φ(n)=φ(pq)=φ(p)φ(q)。
由於我們的p和q都是質數,再一次由歐拉函數的小性質 如果n是質數，則φ(n)=n-1,可得 φ(p)=p-1 , φ(q)=q-1。所以我們的 φ(n)=(p-1)(q-1)
所以我們例子中的 φ(n)=60×52=3120。
(4)按照條件隨機選擇一個整數e
選擇e的條件是 1<e<φ(n)，且e與φ(n)互質。
本例中選取e = 17,但實際應用中e常常取65537 。
(5)計算e對於φ(n)的模反元素d
根據歐拉定理我們有: ed≡1(modφ(n))
即 ed–kφ(n)=1
將 e=17, φ(n)=3120代入可得:
17d–3120k=1
這里我們采用拓展歐幾里得算法求解d的值。
拓展歐幾里得算法可用來求解線性同余方程 a?x≡c(modb)且c=1的情況。我們可以把該方程轉換成 a?x+b?y=1這種形式。
e = 17; 滿足1< e < φ(n)，且e與φ(n) 互質。
d = 2753;e對於φ(n)的模反元素d。
所以我們的公鑰就是 (n,e)=(3233,17),私鑰就是 (n,d)=(3233,2753)
RSA例題：
題目來源：buuctf crypto rsa
rsa(現代密碼學，題目來源buuuctf rsa):
這個題已知p,q,e求d，所以d的值就是flag，我們運用數學方法求d
p=473398607161（題目已知）
q=4511491（題目已知）
n=2,135,733,555,619,387,051（P*Q）
L=2,135,733,082,216,268,400（（p-1）*（q-1））
e=17（題目已知）
ed=1（mod L）
17d=1 （mod 2,135,733,082,216,268,400）
17d-2,135,733,082,216,268,400k=1
k=1,整除，k為整數（1<k<L）
d為整數，k的值經過嘗試，使d的值是一個整數無余數
d=125631357777427553
所以這個題的flag就是flag{125631357777427553}
這個程序相對應的腳本：
p=int(input())
q=int(input())
e=int(input())
for k in range(100):
a = p-1
b = q-1
c = a*b
d = (c*k+1)/e
if d%1 == 0 :
print(k)
print((c*k+1)//e)
break
可以根據這個題解決這個問題
RSA例題2，含有公鑰和私鑰的問題如何解決
題目來源：buuctf crypto rsarsa
相對應的腳本：
import gmpy2
p=int(input())
q=int(input())
e=int(input())
# c=int(input())
# m=int(input())
d=gmpy2.invert(e,(p-1)*(q-1))
print(d)
# m=pow(c,d,p*q)
# c=pow(m,e,p*q)
print(m)
注：m是加密，c是解密，可以自己嘗試一下
有關RSA基礎的東西到這就介紹了，下周在更新RSA的更多知識
小白一個，希望大佬多多指點