初見 | 基礎算法 | 高精度

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2021.2.6
更改了文末統計字數的方式

1 高精度算法

正經的定義是：

高精度算法（High Accuracy Algorithm）是處理大數字的數學計算方法。在一般的科學計算中，會經常算到小數點后幾百位或者更多，當然也可能是幾千億幾百億的大數字。一般這類數字我們統稱為高精 度數，高精度算法是用計算機對於超大數據的一種模擬加，減，乘，除，乘方，階乘，開方等運算。對於非常龐大的數字無法在計算機中正常存儲，於是，將這個數字拆開，拆成一位一位的，或者是四位四位的存儲到一個數組中， 用一個數組去表示一個數字，這樣這個數字就被稱為是高精度數。高精度算法就是能處理高精度數各種運算的算法，但又因其特殊性，故從普通數的算法中分離，自成一家。

但是，作為一個剛入門的，我個人的理解就是：

用數組以按照數位拆分一個大於double/long long等范圍的數據，然后進行處理。
至於好處，我認為，就是對於超大（高精度）數據的使用
（當然肯定比處理一般的數據麻煩一點，要不然單列出來學干嘛）

2 高精度加法

①算法分析

上來一看，這個數據被拆分成了一個個位，作為計算能力非常之差的憨批，我很容易就想到了早在小學就學習過的最基礎的加法計算方法：列 豎 式

（圖源度娘 相信大家都對這陌生了，但是我兩位數加兩位數天天用）
這個的基礎就是兩個數對應的每個數位相加，但是這樣就涉及一個問題：進 位
不過這個還是挺簡單的，兩個一位數相加最多也就進1，於是我們馬上就可以愉快地開始用代碼實現了。

②代碼實現

首先是理一下思路：

1. 錄入數據：用字符串/字符數組接收，再逆序存到int/float/double數組，以便於計算
   （這個地方倒序的原因是如果牽扯到進位，正序的話進位，下標要-1，要是第一個進位的話......那數組會非常的開心，我也是。於是用倒序，進位的時候下標+1，只要數組開的夠長就好了，最后逆序輸出就好了）
2. 進行加法運算：根據剛才算法分析中的用while循環完成就可以了（雖然我個人比較喜歡用for，但是那樣有麻煩了億點）
3. 輸出數據：因為是逆序輸入，所以逆序輸出。

以下是代碼

害怕自己以后看不懂所以加了很多很Dai的注釋

//高精度加法 
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
int a[201],b[201],c[201];//三個int數組來儲存數據進行運算 
int main()
{
	char na[201],nb[201];
	//兩個用來接收數據的字符串（字符數組） 
	gets(na);
	gets(nb); 
	//接收數據
	int la=strlen(na);
	int lb=strlen(nb);
	//計算長度 
	for(int i=0;i<la;i++){
		a[la-i]=na[i]-'0';
	}
	for(int i=0;i<lb;i++){
	b[lb-i]=nb[i]-'0';
	}
	//將數據倒序存入 
	int lc=1,x=0;
	//這里的x是進位的數 ，初始為0 
	while(lc<=la||lc<=lb){//這里算到不包括最后一次進位的最高位
		c[lc]=a[lc]+b[lc]+x;//這里是a+b+進位數 
		x=c[lc]/10;//讓進位數等於結果的十位 
		c[lc]%=10;//讓此位結果變為初步結果的個位 
		lc++;//要計算的位數+1 
	}		
	//加法計算的核心，這里算到不包括最后一次進位的最高位 
	c[lc]=x;
	//如果最后一次計算有進位數，讓進位數等於新高位
	if(c[lc]==0)
		lc--;
	//如果沒有進位，那么把lc--以便輸出
	for(int i=lc;i>0;i--)
	cout<<c[i];
	cout<<endl;
	//輸出，收尾（	
	return 0;
}

學的時候沒覺出來，自己敲的時候發現還是得注意一些小細節的，比如要判斷最后的lc這一位是否等於0
（當然應該是我太菜了才會把這些東西當成細節）

3 高精度減法

①算法分析

和加法一樣，用列 豎 式的方法，這里只需要考慮不 夠 減 要 借 位的問題。

（圖源某小學課件 又是大家非常陌生而我每次兩位數減一位數的時候都要用的東西）
那么具體的解決方法就是不夠減的時候本位+10，上一位-1，非常簡單

②代碼實現

還是理一下思路：

1. 錄入數據：用字符串/字符數組接收，再逆序存到int/float/double數組，以便於計算
2. 進行減法運算：
   1. 判斷被減數是否小於減數，如果是的話交換順序並先輸出一個負號
   2. while+判斷完成算法分析中分析到的借位問題
3. 輸出數據：因為是逆序輸入，所以逆序輸出。
   （應該沒有人發現我是復制的）

以下是代碼

很Dai的注釋更多了，各位看着笑笑就好

//高精度減法 
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int a1[256]={0},a2[256]={0},a[256]={0};
//聲明來存數的數組 
int main()
{
	char n1[256],n2[256],m[256];//用於接收數據的字符串（字符數組），以及m這個后面用來交換用的中間量 
	gets(n1); 
	gets(n2);
	//接收數據，這里默認是n1-n2
	if((strlen(n1)<strlen(n2))||(strlen(n1)==strlen(n2)&&strcmp(n1,n2)<0))
	//判斷被減數是否小於減數
	//第一個判斷條件很好懂，是被減數的位數少於減數
	//第二個是當兩者位數相同時，使用strcmp進行比較
	/*strcmp:
	
	strcmp(n1,n2)就是從n1[0]和n2[0]開始比較（以ASCⅡ里的順序來比較）
	若前者大，則返回大於0的數 
	反之，返回小於0的數
	若相同，則返回0 
	
	（這樣理解，可能不准確，於是去問了下度娘：）
	
	strcmp函數是string compare(字符串比較)的縮寫，
	用於比較兩個字符串並根據比較結果返回整數。
	基本形式為strcmp(str1,str2)，若str1=str2，則返回零；
	str1<str2，則返回負數；若str1>str2，則返回正數。
	(嘛，還是差不多的） 
	*/ 
	{
		strcpy(m,n1);
		strcpy(n1,n2);
		strcpy(n2,m);
		/*
		strcpy就是用后者賦值給前者，復制貼貼 
		
		怕自己這個蒟蒻看不懂於是又去了一趟度娘（蒟蒻的日常） 
		
		strcpy，即string copy（字符串復制）的縮寫。
		strcpy是C++語言的一個標准函數 ，
		strcpy把含有'\0'結束符的字符串復制到另一個地址空間，
		返回值的類型為char*。
		*/ 
		cout<<"-";//先輸出一個負號，這樣后面就可以安心的運算了（蒟蒻發言） 
	} 
	int l1=strlen(n1),l2=strlen(n2);
	
	for(int i=0;i<l1;i++)
	a1[l1-i]=int(n1[i]-'0');
	for(int i=0;i<l2;i++)
	a2[l2-i]=int(n2[i]-'0');
	//將數據存入int類型數組，不用多說
	int x=1;
	//x代表要計算的是第幾位數 
	while(x<=l1||x<=l2)
	{
		if(a1[x]<a2[x])
		{
			a1[x]+=10;
			a1[x+1]--;
		}//這里的意思就是如果不夠減就向高位借10，高一位-1，此位+10 
		a[x]=a1[x]-a2[x];
		x++;	
	}
	//減法核心程序
	int l=x; 
	while(a[l]==0&&l>1)
	l--;
	//如果最高位是0，那么x--以免最高位是0 
	for(int i=l;i>=1;i--)
	cout<<a[i];
	cout<<endl;
	//收尾（來自蒟蒻的喜悅,前幾次沒成功竟然是因為最后輸出的時候打成i++了，果然是Dai） 
	return 0;
 } 

也就我能把這么基礎的東西打75行了，自卑

4 高精度乘法

①算法分析

個人認為這是本次學習最難的地方了（畢竟菜）
但是如果前面的高精度加減法沒有問題的話，這個理解起來也比較簡單。
和前面的思路差不多，我還是從列 豎 式入手

相信各位現在或許還時常能見到這個東西。
我們根據豎式來算的話，就是用a[i]去乘b[1],b[2],b[3]...，然后每次i在變化的時候需要錯位，這個還是比較好想的，讓接收答案的數組c的下標是c[內層循環變量+外層循環變量-1]即可。（當然我最一開始想的時候沒太想通，於是舉了個例子，在這次的高精度學習之中，我個人覺得舉例子是個非常助於理解的方法）
還有一點就是，在進位時的問題，這個也比較好解決。參照剛才加法的方法，可以聲明一個變量x來代表每次進位的數，只不過這里不只是進位1了，而是最多進位9，我們還是可以用當前結果/10的方法來完成計算進位的多少。
實際上分析完這些，乘法也沒有難很多。

②代碼實現

1. 輸入數據，和之前一樣。

2. 進行乘法運算

   1. 得到當前的數據，即本次乘積+上次計算結果（最初默認為0）+進位（默認為0）
   2. 用本次數據求出本次產生進位和本次數據最終結果（即%10）

3. 逆序輸出，和之前一樣

這次分析的多了點，上代碼

多理解還是很有用的（至少對我來說），理解了加和減，乘法也能觸類旁通的亞子

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int a[256],b[256],c[256000],x=0;
int main()
{
	char s1[256],s2[256];
	scanf("%s",s1);
	scanf("%s",s2);
	int l1=strlen(s1),l2=strlen(s2);
	for(int i=0;i<=l1-1;i++)
	a[l1-i]=s1[i]-'0';
	//沒想到啊，查了15分鍾錯誤，原來是這一行的s1[i]-0 打成了s1[i]=0 
	for(int i=0;i<=l2-1;i++)
	b[l2-i]=s2[i]-'0';
	//前邊的就和高精度加減法一樣 
	for(int i=1;i<=l1;i++)
	{
		x=0;
		for(int p=1;p<=l2;p++)
		{
			c[i+p-1]=c[i+p-1]+x+(a[i]*b[p]);
		  //上次處理的數+進位+當前乘積 
			x=c[i+p-1]/10;
			//x是進位數 
			c[p+i-1]%=10;
			//當前結果取余10 
		}
		c[l2+i]=x;
		//當內循環結束后，當前進位是下一位 
	}
	//這里是乘法核心程序，注解都在上面了，實際上結合高精度的加減法來說理解起來並不難 
	int l3=l1+l2;
	while(c[l3]==0&&l3>1)
	l3--;
	for(int i=l3;i>=1;i--)
	cout<<c[i];
	cout<<endl; 
	//收尾>o< 
	return 0;
}

5 總結

本次學習的新知識點

• 對於高精度算法的進一步了解，以及了解其使用的范圍
• 掌握高精度算法的加減乘如何實現

本次學習的感悟

• 要耐心理解，現在知識點的難度不和之前一樣了

本次學習欠缺

• 還沒練題

End

2021.1.28
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