\section{中國科學院大學2021年考研數學分析試題}
一.計算
(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}
\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}}{e^n}$;
(2) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2x)^{\frac{1}{2x}}}{\sin x}$.
二.設$f$在$\mathbb{R}$上連續可微, 且$f(0)=0,f(1)=1$,試證明:
$$\int_{0}^{1}|f(x)-f'(x)|dx\geqslant \frac{1}{e}.$$
三.設
$$f_n(x)=x+x^2+\cdots+x^n\,(n=2,3,\cdots)$$
證明: $f_n(x)=1$在$[0,+\infty)$內有唯一解,並求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n$.
四.計算
(1) $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}e^{-\left(x^2+y^2\right)}dxdy$;
(2) $\displaystyle J=\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx$.
五.設$f(x)$在$[a,+\infty)$內有界可微,且$\displaystyle\lim_ {x\to+\infty}f'(x)$存在,求證: $\displaystyle\lim_ {x\to+\infty}f'(x)=0$.
六.判斷
$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x_n}{x_{n+1}}\right)$$
的斂散性,其中$x_n\,(n\geqslant 1)$是有界遞增的正數列.
七.設$u$關於$x,y$的偏導數存在,且$u=x+y\sin u$,證明:
$$\frac{\partial u}{\partial y}=\sin u\frac{\partial u}{\partial x}.$$
八.求
$$I=\int_D\frac{x^2+y^2-2}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{5}{2}}}dxdy,$$
其中$D=\left\{(x,y)|x^2+y^2\geqslant 2,x\leqslant 1\right\}$.
九.證明:%當$a>0$時,有不等式
$$\left|\int_{a}^{a+1}\sin t^2dt\right|\leqslant \frac{1}{a}.\quad (a>0)$$
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\section{中國科學院大學2021年考研高等代數試題}
一. (15分)構造一個次數盡可能低的多項式$f(x)$,滿足下述條件:
$$f(1)=0,f'(1)=1,f''(1)=2,f(0)=3,f'(0)=-1.$$
二. (20分)計算下面的行列式$(n\geqslant 2)$
$$
\left| \begin{matrix}
2+a_1c_1+b_1d_1& a_2c_1+b_2d_1& \cdots& a_nc_1+b_nd_1\\
a_1c_2+b_1d_2& 2+a_2c_2+b_2d_2& \cdots& a_nc_2+b_nd_2\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\
a_1c_n+b_1d_n& a_2c_n+b_2d_n& \cdots& 2+a_nc_n+b_nd_n\\
\end{matrix} \right|.
$$
%$$\left| 2E+\left( \begin{matrix}{l} c_1& d_1\\ c_2& d_2\\ \vdots& \vdots\\ c_n& d_n\\\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}{l} a_1& a_2& \cdots& a_n\\ b_1& b_2& \cdots& b_n\\\end{matrix} \right) \right|$$
三. (20分)用正交線性變換將下面二次型化為標准形
$$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2-4x_1x_2-4x_2x_3.$$
四. (15分)設$A$為$n$階實對稱半正定矩陣,證明: $A$的伴隨矩陣$A^\ast$也是實對稱半正定矩陣.
%第i個列向量不能寫成前r個列向量線性組合.
五. (20分)設$A=(a_{ij})$是一個$n\times n$的秩為$r$的復矩陣,且$A$的第$r$個順序主子式不為零,即$A\left( \begin{array}{c}
1,2,\cdots,r\\
1,2,\cdots,r\\
\end{array} \right)\neq 0$.證明:如果$r<n$,則對每個$r<i\leqslant n$,都存在復數$x_{i,1},\cdots,x_{i,r}$,使得對任意$1\leqslant j\leqslant n$, $a_{i,j}=x_ {i,1}a_{1,j}+x_ {i,2}a_{2,j}+\cdots+x_ {i,r}a_{r,j}$.
六. (15分)設$V$是一個有限維復線性空間, $A:V\to V$是一個可逆線性變換.如果存在$V$中的一組非零向量$v_1,v_2,\cdots,v_m$使得它們張成向量空間$V$,且對所有的$i$,有$A(v_i)\in \{v_1,\cdots,v_m\}$.證明: $A$可以對角化,且特征值為單位根.
七. (20分)設$M_n(\mathbb{C})$為所有$n$階復方陣構成的向量空間, $T:M_n(\mathbb{C})\to \mathbb{C}$為線性映射且滿足$T(AB)=T(BA),\forall A,B\in M_n(\mathbb{C})$.證明: 存在$\lambda\in\mathbb{C}$使得$T(A)= \lambda\mathrm{tr}(A)$, $\forall A\in M_n(\mathbb{C})$.
八. (15分)設$A,B$為$n$階實對稱矩陣,且$AB=BA$,證明:存在$n$階正交矩陣$T$,使得$T^{-1}AT$與$T^{-1}BT$均為對角矩陣.
%https://wenku.baidu.com/view/3993de5365ce0508773213ca.html
%可交換矩陣的對角化問題_魏慧敏
九. (15分)設$A,B,E$都是$n$階復數方陣, $A,B$非奇異, $E$的元素均為$1$, $m$是不等於$1$的復數, $\sigma (W)$表示矩陣$W$的所有元素之和.
(1) 若$A+B=mE$,證明:
$$
\left[ 1-m\sigma \left( A^{-1} \right) \right] \left[ 1-m\sigma \left( B^{-1} \right) \right] =1.
$$
(2) 問結論(1)的逆命題是否成立.若成立,證明之;若不成立,試舉一反例.
每份考研題的回憶版都隱藏着不為人知的故事，有人歡喜有人愁，我願意盡我的一份力，將此試卷流傳下來！
特別感謝中科院數學系統院考研QQ群群友:斕、ScxKnight、氮-1萘基乙二胺鹽酸鉀等人提供的幫助。我比對了網上幾個版本的真題回憶版，還原出了以下兩份真題，作為Xionger對考研歲月、對朝理想方向勇敢前行的追光者的致敬！