ddy Orz
好像是一些很妙妙的東西，但是更妙妙的東西被略過了（
開始抄論文。
2 \(\text{Dyck}\) 路
2.3 \((n,m)\!-\!\text{Dyck}\) 路的計數
很顯然，如果 \(n\perp m\) ，那么有 \(period(P)=n+m\) 。
然后考慮把互為循環移位的一組 \(P\) 放在一起考慮，即一次考慮 \(n+m\) 個。
驚喜地發現，這 \(n+m\) 個里面好像恰好有一個是 \text{Dyck} 路，而其他都不是。
存在性：任取一條不合法路徑出來（顯然這個是一定存在的），找到所以 \(y={m\over n}x\) 下方的點，取出到這條直線距離最遠的點。這個點會把路徑分成 \(P_1P_2\) ，那么可以發現把路徑重組成 \(P_2P_1\) 就一定合法了。
唯一性：如果拆出來的點不是距離最遠的那么一定不合法。如果存在兩個距離相等（且不為 0 ）的點，那么經過這兩個點的直線與 \(y={m\over n}x\) 平行，而這與 \(n\perp m\) 矛盾。
所以 \(n\perp m\) 時 \((n,m)\!-\!\text{Dyck}\) 路的數量為 \({1\over n+m}{n+m\choose n}\) 。
2.4 有 \(k\) 個峰的 \((n,m)\!-\!\text{Dyck}\) 路計數
定義峰為路徑中連續兩步為 \(UL\) 的個數。
考慮把路徑里的連續 \(U\) 和連續 \(L\) 縮成一個，那么路徑會長成 (L)ULULUL..UL(U) 的樣子。用插板法容易得到有 \(k\) 個峰的 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) 的自由路數量為 \({n\choose k}{m\choose k}\) 。
而如果還要求是 \((n,m)\!-\!\text{Dyck}\) 路呢？同樣假設 \(n\perp m\) 。此時縮點之后的合法路徑只能長成 ULULUL...UL 的樣子，並且離直線距離最遠的一定是 \(LU\) 之間那個點。這樣的點有 \(k\) 個，所以可以得到數量為 \({1\over k}{n-1\choose k-1}{m-1\choose k-1}\) 。
2.5 \(t\!-\!\text{Dyck}\) 路計數
這里滿足 \(t\) 為正整數。由於斜率變得任意，所以不能直接用翻折法了。
由於 \(\gcd(n,tn)=n\) ，所以不能照搬上面的做法。但是考慮到 \(\gcd(n,tn+1)=1\) ，所以可以看看把終點往上移一格會發生什么。
發現這樣非常 amazing 啊，把得到的 \((n,tn+1)\!-\!\text{Dyck}\) 路的第一個 \(U\) （顯然第一個只能是 \(U\) ）刪掉之后，竟然剛好能對應回一條 \((n,tn)\!-\!\text{Dyck}\) 路。
這是因為連接 \((0,0),(n,tn)\) 和連接 \((0,0),(n,tn+1)\) 的線段之間沒有整點，而臨界狀態的那些點往下一格剛好也還是合法的。
所以 \(m=tn\) 的各種東西也可以數了。
甚至還有更有趣 (niubi) 的東西：
不是很懂這兩條是否真的是對的：直接令 \(t={m\over n}\) ， (12) 給出的答案是 \({1\over n+1}{n+m\choose n}\) ，但 \(n\perp m\) 時剛剛推出來的答案是 \({1\over n+m}{n+m\choose n}\) 。或許是筆誤？
然而被略過了（
3 不相交格路
大力映射，大力翻折。
3.1 \(n\) 階不交 \(\text{Dyck}\) 路計數
注意定義里寫的是穿過，即重合是不算相交的。強制 \(P\) 在 \(Q\) 上方。什么時候會相交呢？某個時刻 \(P,Q\) 在同一個點，然后 \(Q\) 往上走， \(P\) 往右走，這就算穿過。
穿過的定義和 LGV 引理使用的條件略有不同，所以考慮修改一下。把 \(P\) 往左再往上移動一格，起終點變為 \((-1,1),(n-1,n+1)\) ，此時如果 \(P,Q\) 有公共點那么就認為它們相交。
現在應該已經可以使用 LGV 引理了（不相交路徑的定義相同了，並且如果起終點反了那么一定會相交，所以不會被算進答案），但是形式還不夠好看。
我們強行讓路徑 \(P\) 的開頭向下延伸兩格，結尾向右延伸兩格，可以發現答案不變。此時所有起點終點都在 \(y=x\) 上，路徑條數就是卡特蘭數。運用 LGV 引理，得到答案 \(C_{n+2}C_n-C_{n+1}^2\) 。
然后又是更有趣 (niubi) 的東西：
然后又被略過了（（（
不過這個式子的下標好像和上面那個 \(C_{n+2}C_n-C_{n+1}^2\) 不太一樣，大概是定義的鍋。
這個式子看起來很像是用 LGV 引理求出來的東西。
3.2 不交自由路對計數
先考慮不接觸自由路對。這個除了起點終點就很迷惑，所以考慮 \(P\) 的第一步必然是 \(U\) ，最后一步必然是 \(L\) ， \(Q\) 同理。所以都刪掉第一步和最后一步，得到 \((\tilde{P},\tilde Q)\) （即 \(P=U\tilde PL,Q=L\tilde QU\) ）。現在 \(\tilde P,\tilde Q\) 完全沒有公共點，直接應用 LGV 引理得到
再考慮不交自由路，其實一模一樣，往左上平移一格即可。
3.3 不接觸自由路對與 \(k\) 個峰的 \(\text{Dyck}\) 路的關系
可以造出一個有趣的映射。
（我就是論文搬運工）
剩下的實際應用不想看了，就這樣吧。