在數學應用上，對於運動引起的圖像模糊，最簡單的方法是直接做逆濾波，但是逆濾波對加性噪聲特別敏感，使得恢復的圖像幾乎不可用。最小均方差（維納）濾波用來去除含有噪聲的模糊圖像，其目標是找到未污染圖像的一個估計，使它們之間的均方差最小，可以去除噪聲，同時清晰化模糊圖像。
定義
給定一個系統
- x(t)是在時間 t刻輸入的信號（未知）
- h(t
是一個線性時間不變系統的脈沖響應（已知） - n(t
是加性噪聲，與x(t
不相關（未知） - y(t)是我們觀察到的信號
我們的目標是找出這樣的卷積函數g(t)g(t)，這樣我們可以如下得到估計的x(t)x(t)：
這里x^(t)x^(t)是x(t)x(t)的最小均方差估計。
基於這種誤差度量， 濾波器可以在頻率域如下描述:
維納濾波相比於逆濾波考慮了加性噪聲的影響：
解釋
上面的式子可以改寫成更為清晰的形式：
H(f)是退化函數的頻率域傅里葉變換。
是信號噪聲比。當噪聲為零時（即信噪比趨近於無窮），方括號內各項也就等於1，意味着此時刻維納濾波也就簡化成逆濾波過程。但是當噪聲增加時，信噪比降低，方括號里面值也跟着降低。這說明，維納濾波的帶通頻率依賴於信噪比。
推導
上面直接給出了維納濾波的表達式，接下來介紹推導過程。
上面提到，維納濾波是建立在最小均方差，可以如下表示：
這里 E是期望
如果我們替換表達式中的X^(f)，上面可以重新組合成:
展開二次方，得到下式：
然而，我們假設噪聲與信號獨立無關，這樣有
並且我們如下定義功率譜
這樣我們有
為了得到最小值，我們對 G(f)G(f)求導，令方程等於零。
由此最終推出維納濾波器。
%---------------------------公式法---------------------------- fourier_H_motion=fft2(H_motion,width,height); %H(u,v) pow_H_motion=abs(fourier_H_motion).^2; %|H(u,v)|^2 noise=motion_blur_noise-motion_blur; %提取噪聲分量 fourier_noise=fft2(noise); % N(u,v) 噪聲傅里葉變換 fourier_double_gray_pic=fft2(double_gray_pic); %F(u,v)為未經過退化的圖片 nsr=abs(fourier_noise).^2./abs(fourier_double_gray_pic).^2; %噪信比=|N(u,v)|^2/|F(u,v)|^2 H_w=1./fourier_H_motion.*pow_H_motion./(pow_H_motion+nsr); %H_w(u,v)=1/H(u,v)*|H(u,v)|^2/[|H(u,v)|^2+NSR] fourier_motion_blur_noise=fft2(motion_blur_noise); %G(u,v) restore_with_noise=ifft2(fourier_motion_blur_noise.*H_w); %輸出頻域=G(u,v)H_w(u,v)，時域為頻域傅里葉逆變換 figure('name','公式法維也納濾波'); subplot(1,2,1);imshow(motion_blur_noise,[]);title('運動模糊添加噪聲') subplot(1,2,2);imshow(restore_with_noise,[]);title('維也納濾波')
可見在噪聲較大的時候，我們采用維納濾波消除部分噪聲的影響，能夠獲得較好的圖片。
參考：https://blog.csdn.net/bluecol/article/details/46242355?utm_source=app