NOIP2020微信步數

題意

luogu

做法

定義0：\(c_i,d_i\)與題意中相同；令\(D\)為題意中的\(k\)，即維數。

定義1：令\((i,j)\)為第\(i\)輪第\(j\)步。

定義2：對於\((i,j)\)，如果存在位置此時走出界限，則稱其為最值。令最值集合為\(S\)。

定義3：令向量\(\vec{v}\)為一輪后各維的增量

定義4：容易發現，\(\forall (i,j)\in S\)，\(\exists \{(l_1,r_1),(l_2,r_2),\cdots,(l_k,r_k)\}\)
出界位置為：\(\{(x_1,x_2,\cdots,x_D)|l_i\le x_i\le r_i,i\in[1,D]\}\)（易得\(l_{c_j}=r_{c_j}\)）。
令向量\(\vec{w_{i,j}}=\{r_1-l_1+1,r_2-l_2+1,\cdots,r_D-l_D+1\}\)。

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結論1：對於\(i\ge 3\)，若\(\forall (i,j)\in S\)，則\((i-1,j)\in S\)，且滿足：

\[\vec{w_{i,j}}_k=\vec{w_{i-1,j}}_k+\vec{v}_k(k\neq c_j)，\vec{w_(i,j)}_{c_j}=1 \]

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（1）
對於\(i=1\)，\((i,j)\in S\)，其貢獻為\(j(\prod\limits_{k=1}^{D}len_k)\)

（2）
對於\(i=2\)，\((i,j)\in S\)，令\(len_k=\vec{w_{i,j}}_k\)，其貢獻為\((n+j)(\prod\limits_{k=1}^{D} len_k)\)
根據結論1，若\((i+\lambda,j)\in S\)，其貢獻為\((\lambda\cdot n+j)(\prod\limits_{k=1,k\neq c_j}^D (len_k-\lambda\cdot n))\)
根據結論1,\(\exists limit,s.t.~(i+\lambda,j)\in S(\lambda\in[0,limit])\)
總貢獻為

\[\sum\limits_{\lambda=0}^{limit}(\lambda \cdot n+j)(\prod\limits_{k=1,k\neq c_j}^D (len_k-\lambda\cdot n)) \]

我們將\((\lambda \cdot n+j)(\prod\limits_{k=1,k\neq c_j}^D (len_k-\lambda\cdot n))\)寫成關於\(\lambda\)的\(D\)次多項式\(F(\lambda)=\sum\limits_{k=0}^D f_k\lambda^k\)。
那么總貢獻為
\(\begin{aligned} \sum\limits_{\lambda=0}^{limit}F(\lambda)&=\sum\limits_{\lambda=0}^{limit}\sum\limits_{k=0}^D f_k\lambda^k\\ &=\sum\limits_{k=0}^D f_k\sum\limits_{\lambda=0}^{limit}\lambda^k\\ \end{aligned}\)

具體講一下代碼流程：
\(O(nD)\)算\((i=1,j)\in S\)的貢獻
\(O(D^2)\)預處理，\(k\in[0,D]\)的自然數冪和多項式系數
\(O(nD^2)\)算\((i=2,j)\in S\)的\(F(\lambda)\)，\(O(nD^2)\)求\(\sum\limits_{\lambda=0}^{limits}F(\lambda)\)

總復雜度\(O(nD^2)\)