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[導讀] 前面分享了 IIR/FIR/mean/梳狀數字濾波器的具體設計實現，這幾種使用起來或許覺得計算量大，相對復雜。實際工程應用中通常有必要過濾來自傳感器或音頻流的數據，以抑制不必要的噪聲。有的應用場景，可能只需要一個最簡單的一階濾波器即可。所以今天來分享一下怎么設計實現一階數字濾波器。
一階 RC 濾波？
小伙伴們一定都用過下面這個無源 RC 低通濾波電路：
其拉普拉斯模型如下：
由於
所以：
其幅頻響應為：
由其傳遞函數可知，這是一個單極點系統，其阻帶滿足-20dB/10 倍頻程斜率下降。其截止頻率為：
如把 C/R 交換位置則變成了高通濾波器，其截止頻率依然按上式進行計算。這里也分享一個可在線計算的網址給大家：
http://www.elecfans.com/tools/rclvboqijiezhipinlv.html
其通帶增益為 0dB。為什么要先談談硬件的一階濾波器呢? 因為這個是大家最為熟悉的東西，而且也一定學過對其進行幅頻響應分析。
既然硬件很容易實現一階低通或者高通濾波器，那么為什么還要討論一階數字濾波器呢？
硬件濾波器需要 RC 器件，R/C 的規格並不能隨意選取，受廠家規格限制，其數值並不連續，特殊規格需要定制
數字濾波器非常靈活，一階數字濾波器計算代價極低。隨便一個單片機都可以玩的轉。
在滿足香農采樣定理的前提下可靈活實現截止頻率。
數字濾波器
這里直接把差分方程列出來，具體推導就不羅嗦了，有興趣可以找書看看，比較容易：
其中
表示濾波時間常數，T 表示采樣周期。
MATLAB 代碼
clc; format compact
s = tf('s');
w = 50; % rad/s
H = w/(s+w)
T = 1/500;
Hd = c2d(H,T,'zoh')
opts = bodeoptions;
opts.FreqUnits = 'rad/s';
opts.XLim = [0.01, 10000];
opts.Grid = 'on';
bode(H,Hd, opts)
從其響應曲線看為一低通濾波器，相頻響應不線性，從其差分方程也看出輸出反饋參與運算了，所以其本質是 IIR 濾波器。
上代碼
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
typedef struct _t_FSTO_FILTER
{
float yn1;
float a;
}t_FSTO_FILTER;
int init_first_order_lpf(t_FSTO_FILTER * pFilter,float Tf,float T)
{
if(T<=0 || Tf<=0)
return -1;
pFilter->a = Tf/(Tf+T);
pFilter->yn1 = 0;
return 0;
}
float fist_order_lpf(t_FSTO_FILTER * pFilter,float xn)
{
float yn;
yn = pFilter->a*pFilter->yn1+(1-pFilter->a)*xn;
pFilter->yn1 = yn;
return yn;
}
#define PI 3.1415f
#define SAMPLE_RATE 500.0f
#define SAMPLE_T (1/SAMPLE_RATE)
#define SAMPLE_SIZE (100)
int main()
{
float sim[SAMPLE_SIZE];
float out[SAMPLE_SIZE];
t_FSTO_FILTER lpf;
if(init_first_order_lpf(&lpf,0.005,SAMPLE_T)==-1)
return -1;
FILE *pFile=fopen("./simulationSin.csv","wt+");
if(pFile==NULL)
{
printf("simulationSin.csv opened failed");
return -1;
}
for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++)
{
sim[i]=20*sin(2*PI*10*i/500)+rand()%5;
}
for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++)
{
out[i]=fist_order_lpf(&lpf,sim[i]);
fprintf(pFile,"%f,%f\n",sim[i],out[i]);
}
fclose(pFile);
return 0;
}
取濾波時間常數為 0.005S,采樣周期為 0.2S，為 40 倍關系，來看一下上述代碼的濾波效果，波形未失真，效果棒棒噠～
如果將常數修改為 0.1S，看下效果：
由圖可見，幅度已經衰減，波形已經失真，傳遞函數的幅頻響應已進入衰減區。所以實際使用的時候，濾波器時間常數盡量取小於采樣周期 10 倍為宜，具體可以仿真一下，或者類似上面測試程序測試一下為宜。
總結一下
一階數字濾波計算簡單，實現代價非常低。在濾除高頻噪聲時應用很廣泛。其本質是 IIR 濾波器，為啥要單列出來介紹一下呢？是因為其實現簡單，實際使用時也不必進行復雜的仿真。
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