CSP-S2020 T2 動物園
題目描述
動物園里飼養了很多動物，飼養員小 A 會根據飼養動物的情況，按照《飼養指南》購買不同種類的飼料，並將購買清單發給采購員小 B。
具體而言，動物世界里存在 2k2^k2k 種不同的動物，它們被編號為 0∼2k−10 \sim 2^k - 10∼2k−1。動物園里飼養了其中的 nnn 種，其中第 iii 種動物的編號為 aia_iai。
《飼養指南》中共有 mmm 條要求，第 jjj 條要求形如“如果動物園中飼養着某種動物，滿足其編號的二進制表示的第 pjp_jpj 位為 111，則必須購買第 qjq_jqj 種飼料”。其中飼料共有 ccc 種，它們從 1∼c1 \sim c1∼c 編號。本題中我們將動物編號的二進制表示視為一個 kkk 位 01 串，第 000 位是最低位，第 k−1k - 1k−1 位是最高位。
根據《飼養指南》，小 A 將會制定飼料清單交給小 B，由小 B 購買飼料。清單形如一個 ccc 位 010101 串，第 iii 位為 111 時，表示需要購買第 iii 種飼料；第 iii 位為 000 時，表示不需要購買第 iii 種飼料。 實際上根據購買到的飼料，動物園可能可以飼養更多的動物。更具體地，如果將當前未被飼養的編號為 xxx 的動物加入動物園飼養后，飼料清單沒有變化，那么我們認為動物園當前還能飼養編號為 xxx 的動物。
現在小 B 想請你幫忙算算，動物園目前還能飼養多少種動物。
輸入格式
第一行包含四個以空格分隔的整數 n,m,c,kn, m, c, kn,m,c,k。
分別表示動物園中動物數量、《飼養指南》要求數、飼料種數與動物編號的二進制表示位數。
第二行 nnn 個以空格分隔的整數，其中第 iii 個整數表示 aia_iai。
接下來 mmm 行，每行兩個整數 pi,qip_i, q_ipi,qi 表示一條要求。
數據保證所有 aia_iai 互不相同，所有的 qiq_iqi 互不相同。
輸出格式
僅一行一個整數表示答案。
題解：
首先通過數據范圍可以看出，這道題一定是一個\(O(1)\)找規律得結果的題。不可能逐個驗證。
然后可以看出，這道題和買進第幾種飼料根本沒關系，對於購進飼料列表的變化，只需要看要求和已有之間的關聯即可。
於是發現，對於所有已養的動物編號，可以用或運算來變成一個數，其二進制可以被稱為“已有串”。同時，對於所有要求中的p[i]，也可以用或運算來變成一個數，其二進制可以被稱為“需求串”。那么，對於已有串和需求串，有以下討論：
對於每位：
1、已有串有，需求串沒有：因為沒有需求，所以新來動物編號在此位是不是1都行。
2、已有串有，需求串有：因為已經有了，所以新來動物編號在此位是不是1都行。
3、已有串沒有，需求串有：重點來了，因為有需求，但是沒有，所以新來動物編號在這個位置必須是0，否則就會對飼料名單有變化。
4、已有串沒有，需求串沒有：同理，因為沒需求，所以在此位是不是1都行。
於是，通過已有串和需求串，可以知道，哪些位置必須是0。
至於\(O(1)\)得結果，想到容斥原理。一共有\(2^k\)種動物，假設有\(cnt\)位必須為0，那么可能合法的種數就是\(2^{k-cnt}\)。根據定義：已有串沒有，所以這\(n\)種動物一定都被這些種包含。
所以答案就是：\(2^{k-cnt}-n\)。
於是這道題變成考快速冪。
UPD：本來以為是滿分，但是掛了太多的分。
要開ull，然后(1<<i)的時候1要強制轉換成ull。然后極限情況爆ull，所以要特判。
滿分代碼：
#include<cstdio>
#define int unsigned long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+6;
int n,m,c,k;
int all,need,cnt;
int qpow(int a,int b)
{
int ret=1;
while(b)
{
if(b&1)
ret=ret*a;
a*=a;
b>>=1;
}
return ret;
}
signed main()
{
scanf("%llu%llu%llu%llu",&n,&m,&c,&k);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x;
scanf("%llu",&x);
all|=x;
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int p,q;
scanf("%llu%llu",&p,&q);
need|=(1ull<<p);
}
for(int i=0;i<k;i++)
if(((all&(1ull<<i))==0)&&(need&(1ull<<i)))
cnt++;
int ans=qpow(2,k-cnt)-n;
if(k==64 && cnt==0 && n==0)
puts("18446744073709551616");
else
printf("%llu\n",ans);
return 0;
}