參考以及部分轉載：
[1] 牧野之歌， 相似度算法之余弦相似度, CSDN, https://blog.csdn.net/zz_dd_yy/article/details/51926305.
[2] 京東雲成都， 余弦相似度度量，CSDN，https://blog.csdn.net/u012160689/article/details/15341303
1、理論基礎：
1）求余弦相似度，等價於計算求給定的兩個向量之間夾角的余弦值。
（例如：兩個向量之間的夾角越接近0，則兩個向量的余弦值越接近1，表示兩個向量方向越相似，則兩個向量越相似）
2）余弦值求法：（如圖1、圖2）
圖1 直角三角形
cosθ = a/c
圖2 普通三角形
cosθ = (a^2 + b^2 + c^2) / (2*a*b)
3）若給定a(x1, y1), b(x2, y2), 則計算余弦相似度方法為：
cosθ = a · b / ( ||a||*||b|| )
= (x1, y1) · (x2, y2) / (sqrt(x1^2+ y1^2) + sqrt(x2^2+ y2^2))
2、舉例(這部分直接轉載)：
1）NLP中計算文本相似度：
句子A：這只皮靴號碼大了。那只號碼合適
句子B：這只皮靴號碼不小，那只更合適
基本思路是：如果這兩句話的用詞越相似，它們的內容就應該越相似。因此，可以從詞頻入手，計算它們的相似程度。
Step1, 分詞。
句子A：這只/皮靴/號碼/大了。那只/號碼/合適。
句子B：這只/皮靴/號碼/不/小，那只/更/合適。
Step2, 列出所有的詞。
這只，皮靴，號碼，大了。那只，合適，不，小，很
Step3，計算詞頻。
| 這只 | 皮靴 | 號碼 | 大了 | 那只 | 合適 | 不 | 小 | 很 | |
| 句子A | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 句子B | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Step4，寫出詞頻向量。
句子A：(1，1，2，1，1，1，0，0，0)
句子B：(1，1，1，0，1，1，1，1，1)
Step5，計算兩個句子向量的向量余弦值
Step6, 結論：計算結果中夾角的余弦值為0.81非常接近於1，所以，上面的句子A和句子B是基本相似的
2）改進的余弦相似度計算方法：
情景：用戶對內容評分，按5分制，X和Y兩個用戶對兩個內容的評分分別為（1,2）和（4,5），使用余弦相似度得到的結果是0.98，兩者極為相似。
分析：但從評分上看X似乎不喜歡2這個 內容，而Y則比較喜歡，余弦相似度對數值的不敏感導致了結果的誤差。
改進方法：調整余弦相似度，將所有維度上的數值都減去一個均值，比如X和Y的評分均值都是3，那么調整后為（-2，-1）和（1,2），再用余弦相似度計算，得到-0.8，相似度為負值並且差異不小，但顯然更加符合現實。
3、一些拓展思考：
1）按NLP中的使用情況看：對於句子：“我今天吃了飯”和“今天我吃了飯”相似度為1。那么我們可以想到，在論文查重去重的時候，以句號為一個句子的斷尾，則句中詞句進行雜亂排序是沒有效果的。（必須要換詞換說法，比如“本文基於***”， 改為“我們根據***”）
2）按詞頻划分做相似度檢測，它的道理在於統計相同詞出現的次數組成的向量。那么詞的划分應該成為一個關鍵。比如：“我想”和“想我”，這兩句完全不同，但若划分不同，則統計詞頻，余弦相似度非常不同。可能會出現相似度為1的情況。
3）這種方法為什么有用呢？越多相同詞出現的頻率越接近，則兩個向量的余弦值越大嗎？（純數學從公式看，好像是的，分子增長速度大於分母的速度，應該考慮求個極限算算增長速度）
附：具體代碼實現，可參考，參考【1】