作者|Rashida Nasrin Sucky
編譯|VK
來源|Medium
神經網絡已經被開發用來模擬人腦。雖然我們還沒有做到這一點，但神經網絡在機器學習方面是非常有效的。它在上世紀80年代和90年代很流行，最近越來越流行。計算機的速度足以在合理的時間內運行一個大型神經網絡。在本文中，我將討論如何實現一個神經網絡。
我建議你仔細閱讀“神經網絡的思想”部分。但如果你不太清楚，不要擔心。可以轉到實現部分。我把它分解成更小的碎片幫助理解。
神經網絡的工作原理
在一個簡單的神經網絡中，神經元是基本的計算單元。它們獲取輸入特征並將其作為輸出。以下是基本神經網絡的外觀：
這里，“layer1”是輸入特征。“Layer1”進入另一個節點layer2，最后輸出預測的類或假設。layer2是隱藏層。可以使用多個隱藏層。
你必須根據你的數據集和精度要求來設計你的神經網絡。
前向傳播
從第1層移動到第3層的過程稱為前向傳播。前向傳播的步驟：
-
為每個輸入特征初始化系數θ。比方說，我們有100個訓練例子。這意味着100行數據。在這種情況下，如果假設有10個輸入特征，我們的輸入矩陣的大小是100x10。現在確定\(θ_1\)的大小。行數需要與輸入特征的數量相同。在這個例子中，是10。列數應該是你選擇的隱藏層的大小。
-
將輸入特征X乘以相應的θ，然后添加一個偏置項。通過激活函數傳遞結果。
有幾個激活函數可用，如sigmoid，tanh，relu，softmax，swish
我將使用一個sigmoid激活函數來演示神經網絡。
這里，“a”代表隱藏層或第2層，b表示偏置。
g(z)是sigmoid激活函數：
-
為隱藏層初始化\(\theta_2\)。大小將是隱藏層的長度乘以輸出類的數量。在這個例子中，下一層是輸出層，因為我們沒有更多的隱藏層。
-
然后我們需要按照以前一樣的流程。將θ和隱藏層相乘，通過sigmoid激活層得到預測輸出。
反向傳播
反向傳播是從輸出層移動到第二層的過程。在這個過程中，我們計算了誤差。
- 首先，從原始輸出y減去預測輸出，這就是我們的\(\delta_3\)。
- 現在，計算\(\theta_2\)的梯度。將\(\delta_3\)乘以\(\theta_2\)。乘以“\(a^2\)”乘以“\(1-a^2\)”。在下面的公式中，“a”上的上標2表示第2層。請不要把它誤解為平方。
- 用訓練樣本數m計算沒有正則化版本的梯度\(\delta\)。
訓練網絡
修正\(\delta\)。將輸入特征乘以\(\delta_2\)乘以學習速率得到\(\theta_1\)。請注意\(\theta_1\)的維度。
重復前向傳播和反向傳播的過程，並不斷更新參數，直到達到最佳成本。這是成本函數的公式。只是提醒一下，成本函數表明，預測離原始輸出變量有多遠。
如果你注意到的話，這個成本函數公式幾乎和邏輯回歸成本函數一樣。
神經網絡的實現
我將使用Andrew Ng在Coursera的機器學習課程的數據集。請從以下鏈接下載數據集：
https://github.com/rashida048/Machine-Learning-With-Python/blob/master/ex3d1.xlsx
下面是一個逐步實現的神經網絡。我鼓勵你自己運行每一行代碼並打印輸出以更好地理解它。
- 首先導入必要的包和數據集。
import pandas as pd
import numpy as np
xls = pd.ExcelFile('ex3d1.xlsx')
df = pd.read_excel(xls, 'X', header = None)
這是數據集的前五行。這些是數字的像素值。
在這個數據集中，輸入和輸出變量被組織在單獨的excel表格中。讓我們導入輸出變量：
y = pd.read_excel(xls, 'y', header=None)
這也是數據集的前五行。輸出變量是從1到10的數字。這個項目的目標是使用存儲在'df'中的輸入變量來預測數字。
- 求輸入輸出變量的維數
df.shape
y.shape
輸入變量或df的形狀為5000 x 400，輸出變量或y的形狀為5000 x 1。
- 定義神經網絡
為了簡單起見，我們將只使用一個由25個神經元組成的隱藏層。
hidden_layer = 25
得到輸出類。
y_arr = y[0].unique()#輸出:
array([10, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9], dtype=int64)
正如你在上面看到的，有10個輸出類。
- 初始化θ和偏置
我們將隨機初始化層1和層2的θ。因為我們有三層，所以會有\(\theta_1\)和\(\theta_2\)。
\(\theta_1\)的維度：第1層的大小x第2層的大小
\(\theta_2\)的維度：第2層的大小x第3層的大小
從步驟2開始，“df”的形狀為5000 x 400。這意味着有400個輸入特征。所以，第1層的大小是400。當我們指定隱藏層大小為25時，層2的大小為25。我們有10個輸出類。所以，第3層的大小是10。
\(\theta_1\)的維度：400 x 25
\(\theta_2\)的維度：25×10
同樣，會有兩個隨機初始化的偏置b1和b2。
\(b_1\)的維度：第2層的大小(本例中為25)
\(b_1\)的維度：第3層的大小(本例中為10)
定義一個隨機初始化theta的函數：
def randInitializeWeights(Lin, Lout):
epi = (6**1/2) / (Lin + Lout)**0.5
w = np.random.rand(Lout, Lin)*(2*epi) -epi
return w
使用此函數初始化theta
hidden_layer = 25
output =10
theta1 = randInitializeWeights(len(df.T), hidden_layer)
theta2 = randInitializeWeights(hidden_layer, output)
theta = [theta1, theta2]
現在，初始化我們上面討論過的偏置項：
b1 = np.random.randn(25,)
b2 = np.random.randn(10,)
- 實現前向傳播
使用前向傳播部分中的公式。
為了方便起見，定義一個函數來乘以θ和X
def z_calc(X, theta):
return np.dot(X, theta.T)
我們也將多次使用激活函數。同樣定義一個函數
def sigmoid(z):
return 1/(1+ np.exp(-z))
現在我將逐步演示正向傳播。首先，計算z項：
z1 =z_calc(df, theta1) + b1
現在通過激活函數傳遞這個z1，得到隱藏層
a1 = sigmoid(z1)
a1是隱藏層。a1的形狀是5000 x 25。重復相同的過程來計算第3層或輸出層
z2 = z_calc(a1, theta2) + b2
a2 = sigmoid(z2)
a2的形狀是5000 x 10。10列代表10個類。a2是我們的第3層或最終輸出。如果在這個例子中有更多的隱藏層，在從一個層到另一個層的過程中會有更多的重復步驟。這種利用輸入特征計算輸出層的過程稱為前向傳播。
l = 3 #層數
b = [b1, b2]
def hypothesis(df, theta):
a = []
z = []
for i in range (0, l-1):
z1 = z_calc(df, theta[i]) + b[i]
out = sigmoid(z1)
a.append(out)
z.append(z1)
df = out
return out, a, z
- 實現反向傳播
這是反向計算梯度和更新θ的過程。在此之前，我們需要修改'y'。我們在“y”有10個類。但我們需要將每個類在其列中分開。例如，針對第10類的列。我們將為10替換1，為其余類替換0。這樣我們將為每個類創建一個單獨的列。
y1 = np.zeros([len(df), len(y_arr)])
y1 = pd.DataFrame(y1)
for i in range(0, len(y_arr)):
for j in range(0, len(y1)):
if y[0][j] == y_arr[i]:
y1.iloc[j, i] = 1
else:
y1.iloc[j, i] = 0
y1.head()
之前我一步一步地演示了向前傳播，然后把所有的都放在一個函數中，我將對反向傳播做同樣的事情。使用上述反向傳播部分的梯度公式，首先計算\(\delta_3\)。我們將使用前向傳播實現中的z1、z2、a1和a2。
del3 = y1-a2
現在使用以下公式計算delta2：
這里是delta2：
del2 = np.dot(del3, theta2) * a1*(1 - a1)
在這里我們需要學習一個新的概念。這是一個sigmoid梯度。sigmoid梯度的公式為：
如果你注意到了，這和delta公式中的a(1-a)完全相同。因為a是sigmoid(z)。我們來寫一個關於sigmoid梯度的函數：
def sigmoid_grad(z):
return sigmoid(z)*(1 - sigmoid(z))
最后，使用以下公式更新θ：
我們需要選擇一個學習率。我選了0.003。我鼓勵你嘗試使用其他學習率，看看它的表現：
theta1 = np.dot(del2.T, pd.DataFrame(a1)) * 0.003
theta2 = np.dot(del3.T, pd.DataFrame(a2)) * 0.003
這就是θ需要更新的方式。這個過程稱為反向傳播，因為它向后移動。在編寫反向傳播函數之前，我們需要定義成本函數。因為我會把成本的計算也包括在反向傳播方法中。但它是可以添加到前向傳播中，或者可以在訓練網絡時將其分開的。
def cost_function(y, y_calc, l):
return (np.sum(np.sum(-np.log(y_calc)*y - np.log(1-y_calc)*(1-y))))/m
這里m是訓練實例的數量。綜合起來的代碼：
m = len(df)
def backpropagation(df, theta, y1, alpha):
out, a, z = hypothesis(df, theta)
delta = []
delta.append(y1-a[-1])
i = l - 2
while i > 0:
delta.append(np.dot(delta[-i], theta[-i])*sigmoid_grad(z[-(i+1)]))
i -= 1
theta[0] = np.dot(delta[-1].T, df) * alpha
for i in range(1, len(theta)):
theta[i] = np.dot(delta[-(i+1)].T, pd.DataFrame(a[0])) * alpha
out, a, z = hypothesis(df, theta)
cost = cost_function(y1, a[-1], 1)
return theta, cost
- 訓練網絡
我將用20個epoch訓練網絡。我在這個代碼片段中再次初始化theta。
theta1 = randInitializeWeights(len(df.T), hidden_layer)
theta2 = randInitializeWeights(hidden_layer, output)
theta = [theta1, theta2]
cost_list = []
for i in range(20):
theta, cost= backpropagation(df, theta, y1, 0.003)
cost_list.append(cost)
cost_list
我使用了0.003的學習率並運行了20個epoch。但是請看文章末提供的GitHub鏈接。我有試着用不同的學習率和不同的epoch數訓練模型。
我們得到了每個epoch計算的成本，以及最終更新的θ。用最后的θ來預測輸出。
- 預測輸出並計算精度
只需使用假設函數並傳遞更新后的θ來預測輸出：
out, a, z = hypothesis(df, theta)
現在計算一下准確率，
accuracy= 0
for i in range(0, len(out)):
for j in range(0, len(out[i])):
if out[i][j] >= 0.5 and y1.iloc[i, j] == 1:
accuracy += 1
accuracy/len(df)
准確率為100%。完美，對吧？但我們並不是一直都能得到100%的准確率。有時獲得70%的准確率是很好的，這取決於數據集。
恭喜！你剛剛開發了一個完整的神經網絡！
以下是完整工作代碼的GitHub鏈接：
https://github.com/rashida048/Machine-Learning-With-Python/blob/master/NeuralNetworkFinal.ipynb
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