題目
from gmpy2 import lcm , powmod , invert , gcd , mpz
from Crypto.Util.number import getPrime
from sympy import nextprime
from random import randint
p = getPrime(1024)
q = getPrime(1024)
n = p * q
gift = lcm(p - 1 , q - 1)
e = 54722
flag = b'NPUCTF{******************}'
m = int.from_bytes(flag , 'big')
c = powmod(m , e , n)
print('n: ' , n)
print('gift: ' , gift)
print('c: ' , c)
#n: 17083941230213489700426636484487738282426471494607098847295335339638177583685457921198569105417734668692072727759139358207667248703952436680183153327606147421932365889983347282046439156176685765143620637107347870401946946501620531665573668068349080410807996582297505889946205052879002028936125315312256470583622913646319779125559691270916064588684997382451412747432722966919513413709987353038375477178385125453567111965259721484997156799355617642131569095810304077131053588483057244340742751804935494087687363416921314041547093118565767609667033859583125275322077617576783247853718516166743858265291135353895239981121
#gift: 2135492653776686212553329560560967285303308936825887355911916917454772197960682240149821138177216833586509090969892419775958406087994054585022894165950768427741545736247918410255804894522085720642952579638418483800243368312702566458196708508543635051350999572787188236243275631609875253617015664414032058822919469443284453403064076232765024248435543326597418851751586308514540124571309152787559712950209357825576896132278045112177910266019741013995106579484868768251084453338417115483515132869594712162052362083414163954681306259137057581036657441897428432575924018950961141822554251369262248368899977337886190114104
#c: 3738960639194737957667684143565005503596276451617922474669745529299929395507971435311181578387223323429323286927370576955078618335757508161263585164126047545413028829873269342924092339298957635079736446851837414357757312525158356579607212496060244403765822636515347192211817658170822313646743520831977673861869637519843133863288550058359429455052676323196728280408508614527953057214779165450356577820378810467527006377296194102671360302059901897977339728292345132827184227155061326328585640019916328847372295754472832318258636054663091475801235050657401857262960415898483713074139212596685365780269667500271108538319
分析與求解
- 根據題設，得到以下關系：
\[gift=lcm((p-1),(q-1))\ \ \ \ \ \ gmpy2.lcm求最小公倍數 \]
\[n=p*q \]
\[c=m^{e}\ mod\ n \]
- 嘗試直接將\(n\)分解，無果。\(gift\)可以分解為
gift = 8 * 11 * 97 * 9601 * 26057167557433418766727399341516665922795024485718296827775927226598694152064298989740080209950805089159979564300359652085874056289167084685303669920341402021998569251561854184586912056788515477034039863935829715784489123437315798902409373317578932823488000322365526936227790036245092665207472438169954702748857842187299166976320465787901470261800372425345547560303561842376571751928531743505412746346436473024093575122041981043859827477404447458211341273671273506575488189374812217939984540494633634622813448773520886788206836310702581026986331011987344147901504555559723572981774237352245997308787165273589
- 此外，根據我們小學五年級學過的知識，有：
\[最小公倍數(p, q)\ *\ 最大公因數(p,q)\ =\ p*q \]
所以對於\(gift\)，我們有：
\[gift*gcd(p-1, q-1)=(p-1)*(q-1)=\phi(n) \]
- 我們可以求出\(gift\)的二進制位數為2045
求法：
print(len(bin(gift)[2:]))
- 同時知道\(\phi(n)=(p-1)*(q-1)\)的位數為2048，因此\(gcd(p-1, q-1)\)占3bits，因此最大公因數的范圍（十進制）為\([4, 8]\)
- 在此范圍內遍歷最大公因數的值，然后與最小公倍數相乘得到\(\phi(n)\)的值，再有\(e,\ \phi(n)\)求得\(d\)，然后就可求得明文
- 但是這個時候發現一個問題：\(e\)值不是素數，分解可以得到
\[e=2*27361 \]
所以，在計算時，需要將原先的\(e\)值除以2才可以進行常規的解密操作。
8. 值的變化可通過以下表達式體現
\[c=(m^{2})^{\frac{e}{2}}mod\ n \]
所以解出的明文需要開根號再轉為字節流
- 完整的求解代碼如下：注意：遍歷過程中不是所有的值都符合條件，可能會報ZeroDivisionError，因此需要加異常處理
from Crypto.Util.number import *
import gmpy2
e = 54722
# e = 2*27361
n = 17083941230213489700426636484487738282426471494607098847295335339638177583685457921198569105417734668692072727759139358207667248703952436680183153327606147421932365889983347282046439156176685765143620637107347870401946946501620531665573668068349080410807996582297505889946205052879002028936125315312256470583622913646319779125559691270916064588684997382451412747432722966919513413709987353038375477178385125453567111965259721484997156799355617642131569095810304077131053588483057244340742751804935494087687363416921314041547093118565767609667033859583125275322077617576783247853718516166743858265291135353895239981121
gift = 2135492653776686212553329560560967285303308936825887355911916917454772197960682240149821138177216833586509090969892419775958406087994054585022894165950768427741545736247918410255804894522085720642952579638418483800243368312702566458196708508543635051350999572787188236243275631609875253617015664414032058822919469443284453403064076232765024248435543326597418851751586308514540124571309152787559712950209357825576896132278045112177910266019741013995106579484868768251084453338417115483515132869594712162052362083414163954681306259137057581036657441897428432575924018950961141822554251369262248368899977337886190114104
c = 3738960639194737957667684143565005503596276451617922474669745529299929395507971435311181578387223323429323286927370576955078618335757508161263585164126047545413028829873269342924092339298957635079736446851837414357757312525158356579607212496060244403765822636515347192211817658170822313646743520831977673861869637519843133863288550058359429455052676323196728280408508614527953057214779165450356577820378810467527006377296194102671360302059901897977339728292345132827184227155061326328585640019916328847372295754472832318258636054663091475801235050657401857262960415898483713074139212596685365780269667500271108538319
# gift = 8 * 11 * 97 * 9601 * 26057167557433418766727399341516665922795024485718296827775927226598694152064298989740080209950805089159979564300359652085874056289167084685303669920341402021998569251561854184586912056788515477034039863935829715784489123437315798902409373317578932823488000322365526936227790036245092665207472438169954702748857842187299166976320465787901470261800372425345547560303561842376571751928531743505412746346436473024093575122041981043859827477404447458211341273671273506575488189374812217939984540494633634622813448773520886788206836310702581026986331011987344147901504555559723572981774237352245997308787165273589
print(len(bin(gift)[2:]))
print(len(bin(n)[2:]))
# gift * gcd = (p-1) * (q-1)
# gift % gcd = 0
for gcd_val in range(4, 8):
phi = gift * gcd_val
try:
d = gmpy2.invert(e // 2, phi)
m_2 = pow(c, int(d), n)
flag = long_to_bytes(gmpy2.isqrt(m_2))
print(flag)
except ZeroDivisionError:
continue
NPUCTF{diff1cult_rsa_1s_e@sy}