摘要

一種基於混沌Logistic加密算法的圖片加密與還原的方法，並利用Lena圖和Baboon圖來驗證這種加密算法的加密效果。為了能夠體現該算法在圖片信息加密的效果，本文還采用了普通行列置亂加密算法和像素點的RGB的值的縮放算法這兩種算法對相同的圖片的圖片進行處理，利用matlab通過顯示加密過后的圖片以及直方圖分析可以很直觀的發現混沌Logistic加密算法對圖片信息加密的效果更好，並且很好地隱藏了原始圖像的統計特性，能夠有效地抵御基於圖像像素值的統計攻擊，達到了圖像加密的效果。

混沌Logistic映射的理論

混沌的基本概念

1975年，美國數學家約克和美籍華人李天岩發表了《周期3意味着混沌》的文章，首次提出了“混沌”—詞，闡述了混沌的數學定義，對混沌學的發展具有重大意義。自此以后，混沌研究開始蓬勃發展。
混沌是指在確定性動力學系統中，由於對初值敏感而表現出的類似隨機的、不可預測的運動。混沌是確定的非線性系統中出現的內在隨機性現象，其變化並非隨機確貌似隨機。

Logistic映射方程

Logistic映射是一個典型的非線性的迭代方程，如式所示：

稱為Logistic映射的控制參數，對任意的k有，其中k為迭代時間步。Logistic映射的動態行為與控制參數u密切相關 ，對於不同的u值系統將呈現不同的特性（即當k趨於無窮大，xk的變化情況）。其中Logistic映射有兩個主要的參數，一個是初值x0，一個是系統參數μ，研究表明，當 0<μ<=3.5699456時，Logistic呈現出周期性；而當映射方程滿足0<x0<1和3.5699456<μ<=4這兩個條件時，Logistic映射處於混沌狀態，即一種無序的、不可預測的、混亂的、摸不到頭、摸不到尾的狀態。對給定的初始值x0，生成的序列是非周期性、非收斂以及對初始條件敏感的。

有界性

混沌是有界的，它的運動軌線始終局限於一個確定的區域，這個區域稱為混沌吸引域。由圖所示，無論控制參數μ怎么變，迭代值xn始終在(0,1)之間。
不同控制參數μ下的Logistic分岔圖

混沌Logistic映射與其他加密算法介紹

普通行列置亂加密算法

普通置亂加密算法的流程

將讀入的水印圖片，先獲取圖片的大小，得到原始圖片矩陣，首先隨機打亂各行，輸出打亂后的矩陣，再將這個矩陣隨機打亂各列，最后圖像成功加密，顯示加密圖像。算法流程框圖如圖：

算法分析

s = size(handles.img);
% 將picture分為3列，每列768/3=256個元素
%%% 隨機打亂各行進行加密
% 不放回的均勻分布的從1到s(1)取整數，個數為s(1)抽樣
r = randsample(s(1), s(1)); % r為256*1的矩陣，得到256個不相同的數
RGBS = handles.img(r, :, :);    % 得到一個256*256的圖像矩陣
%%% 隨機打亂各列進行加密
c = randsample(s(2), s(2)); % c為256*1的矩陣，得到256個不相同的數
RGBSS = RGBS(:, c, :);
axes(handles.axes2);        %定義圖形區域axes2
imshow(RGBSS); 
title('普通置亂加密圖像');

figure(2);
hist_im=histogram(RGBSS); %加密后直方圖
title('普通置亂加密直方圖');

像素點的RGB值縮放加密

像素點的RGB值縮放加密算法的流程

首先讀入原始圖片，通過size獲取水印圖片的大小矩陣，接着獲取圖片各R、G、B的值，然后將獲取到的RGB值分別擴大20倍並將值賦給r，最后再將r與將水印圖片轉換成double類型的矩陣進行點乘運算實現圖像的成功加密。算法流程框圖如圖：

算法分析

s = size(handles.img);
r = rand(s(1), s(2), s(3)) * 20;% 將原始圖片的RGB值分別擴大20倍
RGBD = im2double(handles.img);
RGB_jiami = RGBD .* r;
axes(handles.axes2);        %定義圖形區域axes2
imshow(RGB_jiami); 
title('像素點的RGB值縮放加密圖像');

figure(3);
hist_im=histogram(RGB_jiami); %加密后直方圖
title('像素點的RGB值縮放加密直方圖');

混沌Logistic映射加密算法

混沌Logistic映射加密算法模型

讀入待處理的原始圖片，通過加密密鑰進入混沌序列，通過混沌系統設計加密算法，實現加密目的；再輸入解密密鑰，把加密過程逆向運算即可得到解密圖像。系統參數u和初值x0設置成密鑰。混沌Logistic映射加密算法模型如圖：

當迭代n次后，我們就得到了x1、x2、…，xn這n個值，這就是一個混沌序列，是一維的，稱作序列A，也就是我們想要得到的序列，在MATLAB中，可以看出xi（i=1,2,…,n）的取值是在(0,1)之間的，就像圖像灰度值是在(0,255)之間一樣。那么我們把這個一維序列歸一化到(0,255)之間得到序列B。異或過程如圖：

算法分析

% x=0.1;  % 定義初值x(0)=0.1 
u=4;      % 定義參數u=4
%迭代500次，達到充分混沌狀態
for i=1:500 
    x=u*x*(1-x); 
end 
fprintf('x(k+1)=%d\n',x); % 輸出迭代后的x的值
% picture是水印，D是水印對應的矩陣
% Imgn是混沌矩陣，Rod是水印與混沌異或結果
% img是還原出來的水印
%產生一維混沌加密序列 
A=zeros(1,M*N);     % 產生一個1-M*N的double類型的矩陣
A(1)=x;             % 定義一維混沌初值
for i=1:M*N-1 
    A(i+1)=u*A(i)*(1-A(i)); 
end

%歸一化序列 
B=uint8(255*A); % 產生一個1*M×N的uint8類型的矩陣

% 轉化為二維混沌加密序列
% 將矩陣B的元素返回到一個M×N的矩陣Imgn,其中Imgn是混沌矩陣
Imgn=reshape(B,M,N);   % 按照列的順序進行轉換的，也就是第一列讀完，讀第二列，按列存放

C=zeros(M,N); 
for x=1:M 
    for y=1:N 
        C(x,y)=handles.img(x,y); 
    end
end
C; 
D=uint8(C); % D是水印圖像對應的矩陣

%異或操作加密(Logistic混沌序列加密)
Rod=bitxor(D,Imgn); %異或操作加密（水印矩陣和二維混沌序列異或結果）
Rod; 
%轉化成uint8后圖像會變成二維，原來的picture是256*256*3的三通道后面轉換成256*768了，
%顯示是三個圖片，用rgb分別顯示了，合成一個圖片要用reshape（Rod，M,N/3,3）轉化回去
rod=reshape(Rod,M,N/3,3); % 把Rod中元素進行重塑成M×N/3×3的矩陣