本章代碼：
這篇文章主要介紹了 Batch Normalization 的概念，以及 PyTorch 中的 1d/2d/3d Batch Normalization 實現。
Batch Normalization
稱為批標准化。批是指一批數據，通常為 mini-batch；標准化是處理后的數據服從 $N(0,1)$ 的正態分布。
批標准化的優點有如下：
- 可以使用更大的學習率，加速模型收斂
- 可以不用精心設計權值初始化
- 可以不用 dropout 或者較小的 dropout
- 可以不用 L2 或者較小的 weight decay
- 可以不用 LRN (local response normalization)
假設輸入的 mini-batch 數據是 $\mathcal{B}=\left{x_{1 \dots m}\right}$，Batch Normalization 的可學習參數是 $\gamma, \beta$，步驟如下：
- 求 mini-batch 的均值：$\mu_{\mathcal{B}} \leftarrow \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} x_{i}$
- 求 mini-batch 的方差：$\sigma_{\mathcal{B}}^{2} \leftarrow \frac{1}{m} \sum_{i=1}\left(x_{i}-\mu_{\mathcal{B}}\right)^{2}$
- 標准化：$\widehat{x}{i} \leftarrow \frac{x{i}-\mu_{\mathcal{B}}}{\sqrt{\sigma_{B}^{2}+\epsilon}}$，其中 $\epsilon$ 是放置分母為 0 的一個數
- affine transform(縮放和平移)：$y_{i} \leftarrow \gamma \widehat{x}{i}+\beta \equiv \mathrm{B} \mathrm{N}{\gamma, \beta}\left(x_{i}\right)$，這個操作可以增強模型的 capacity，也就是讓模型自己判斷是否要對數據進行標准化，進行多大程度的標准化。如果 $\gamma= \sqrt{\sigma_{B}^{2}}$，$\beta=\mu_{\mathcal{B}}$，那么就實現了恆等映射。
Batch Normalization 的提出主要是為了解決 Internal Covariate Shift (ICS)。在訓練過程中，數據需要經過多層的網絡，如果數據在前向傳播的過程中，尺度發生了變化，可能會導致梯度爆炸或者梯度消失，從而導致模型難以收斂。
Batch Normalization 層一般在激活函數前一層。
下面的代碼打印一個網絡的每個網絡層的輸出，在沒有進行初始化時，數據尺度越來越小。
import torch
import numpy as np
import torch.nn as nn
from common_tools import set_seed
set_seed(1) # 設置隨機種子
class MLP(nn.Module):
def __init__(self, neural_num, layers=100):
super(MLP, self).__init__()
self.linears = nn.ModuleList([nn.Linear(neural_num, neural_num, bias=False) for i in range(layers)])
self.bns = nn.ModuleList([nn.BatchNorm1d(neural_num) for i in range(layers)])
self.neural_num = neural_num
def forward(self, x):
for (i, linear), bn in zip(enumerate(self.linears), self.bns):
x = linear(x)
# x = bn(x)
x = torch.relu(x)
if torch.isnan(x.std()):
print("output is nan in {} layers".format(i))
break
print("layers:{}, std:{}".format(i, x.std().item()))
return x
def initialize(self):
for m in self.modules():
if isinstance(m, nn.Linear):
# method 1
# nn.init.normal_(m.weight.data, std=1) # normal: mean=0, std=1
# method 2 kaiming
nn.init.kaiming_normal_(m.weight.data)
neural_nums = 256
layer_nums = 100
batch_size = 16
net = MLP(neural_nums, layer_nums)
# net.initialize()
inputs = torch.randn((batch_size, neural_nums)) # normal: mean=0, std=1
output = net(inputs)
print(output)
當使用nn.init.kaiming_normal_()初始化后，數據的標准差尺度穩定在 [0.6, 0.9]。
當我們不對網絡層進行權值初始化，而是在每個激活函數層之前使用 bn 層，查看數據的標准差尺度穩定在 [0.58, 0.59]。因此 Batch Normalization 可以不用精心設計權值初始化。
下面以人民幣二分類實驗中的 LeNet 為例，添加 bn 層，對比不帶 bn 層的網絡和帶 bn 層的網絡的訓練過程。
不帶 bn 層的網絡，並且使用 kaiming 初始化權值，訓練過程如下：
可以看到訓練過程中，訓練集的 loss 在中間激增到 1.4，不夠穩定。
帶有 bn 層的 LeNet 定義如下：
class LeNet_bn(nn.Module):
def __init__(self, classes):
super(LeNet_bn, self).__init__()
self.conv1 = nn.Conv2d(3, 6, 5)
self.bn1 = nn.BatchNorm2d(num_features=6)
self.conv2 = nn.Conv2d(6, 16, 5)
self.bn2 = nn.BatchNorm2d(num_features=16)
self.fc1 = nn.Linear(16 * 5 * 5, 120)
self.bn3 = nn.BatchNorm1d(num_features=120)
self.fc2 = nn.Linear(120, 84)
self.fc3 = nn.Linear(84, classes)
def forward(self, x):
out = self.conv1(x)
out = self.bn1(out)
out = F.relu(out)
out = F.max_pool2d(out, 2)
out = self.conv2(out)
out = self.bn2(out)
out = F.relu(out)
out = F.max_pool2d(out, 2)
out = out.view(out.size(0), -1)
out = self.fc1(out)
out = self.bn3(out)
out = F.relu(out)
out = F.relu(self.fc2(out))
out = self.fc3(out)
return out
帶 bn 層的網絡，並且不使用 kaiming 初始化權值，訓練過程如下：
雖然訓練過程中，訓練集的 loss 也有激增，但只是增加到 0.4，非常穩定。
Batch Normalization in PyTorch
在 PyTorch 中，有 3 個 Batch Normalization 類
- nn.BatchNorm1d()，輸入數據的形狀是 $B \times C \times 1D_feature$
- nn.BatchNorm2d()，輸入數據的形狀是 $B \times C \times 2D_feature$
- nn.BatchNorm3d()，輸入數據的形狀是 $B \times C \times 3D_feature$
以nn.BatchNorm1d()為例，如下：
torch.nn.BatchNorm1d(num_features, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True)
參數：
- num_features：一個樣本的特征數量，這個參數最重要
- eps：在進行標准化操作時的分布修正項
- momentum：指數加權平均估計當前的均值和方差
- affine：是否需要 affine transform，默認為 True
- track_running_stats：True 為訓練狀態，此時均值和方差會根據每個 mini-batch 改變。False 為測試狀態，此時均值和方差會固定
主要屬性：
- runninng_mean：均值
- running_var：方差
- weight：affine transform 中的 $\gamma$
- bias：affine transform 中的 $\beta$
在訓練時，均值和方差采用指數加權平均計算，也就是不僅考慮當前 mini-batch 的值均值和方差還考慮前面的 mini-batch 的均值和方差。
在訓練時，均值方差固定為當前統計值。
所有的 bn 層都是根據特征維度計算上面 4 個屬性，詳情看下面例子。
nn.BatchNorm1d()
輸入數據的形狀是 $B \times C \times 1D_feature$。在下面的例子中，數據的維度是：(3, 5, 1)，表示一個 mini-batch 有 3 個樣本，每個樣本有 5 個特征，每個特征的維度是 1。那么就會計算 5 個均值和方差，分別對應每個特征維度。momentum 設置為 0.3，第一次的均值和方差默認為 0 和 1。輸入兩次 mini-batch 的數據。
數據如下圖：
代碼如下所示：
batch_size = 3
num_features = 5
momentum = 0.3
features_shape = (1)
feature_map = torch.ones(features_shape) # 1D
feature_maps = torch.stack([feature_map*(i+1) for i in range(num_features)], dim=0) # 2D
feature_maps_bs = torch.stack([feature_maps for i in range(batch_size)], dim=0) # 3D
print("input data:\n{} shape is {}".format(feature_maps_bs, feature_maps_bs.shape))
bn = nn.BatchNorm1d(num_features=num_features, momentum=momentum)
running_mean, running_var = 0, 1
mean_t, var_t = 2, 0
for i in range(2):
outputs = bn(feature_maps_bs)
print("\niteration:{}, running mean: {} ".format(i, bn.running_mean))
print("iteration:{}, running var:{} ".format(i, bn.running_var))
running_mean = (1 - momentum) * running_mean + momentum * mean_t
running_var = (1 - momentum) * running_var + momentum * var_t
print("iteration:{}, 第二個特征的running mean: {} ".format(i, running_mean))
print("iteration:{}, 第二個特征的running var:{}".format(i, running_var))
輸出為：
input data:
tensor([[[1.],
[2.],
[3.],
[4.],
[5.]],
[[1.],
[2.],
[3.],
[4.],
[5.]],
[[1.],
[2.],
[3.],
[4.],
[5.]]]) shape is torch.Size([3, 5, 1])
iteration:0, running mean: tensor([0.3000, 0.6000, 0.9000, 1.2000, 1.5000])
iteration:0, running var:tensor([0.7000, 0.7000, 0.7000, 0.7000, 0.7000])
iteration:0, 第二個特征的running mean: 0.6
iteration:0, 第二個特征的running var:0.7
iteration:1, running mean: tensor([0.5100, 1.0200, 1.5300, 2.0400, 2.5500])
iteration:1, running var:tensor([0.4900, 0.4900, 0.4900, 0.4900, 0.4900])
iteration:1, 第二個特征的running mean: 1.02
iteration:1, 第二個特征的running var:0.48999999999999994
雖然兩個 mini-batch 的數據是一樣的，但是 bn 層的均值和方差卻不一樣。以第二個特征的均值計算為例，值都是 2。
- 第一次 bn 層的均值計算：$running_mean=(1-momentum) \times pre_running_mean + momentum \times mean_t =(1-0.3) \times 0 + 0.3 \times 2 =0.6$
- 第二次 bn 層的均值計算：$running_mean=(1-momentum) \times pre_running_mean + momentum \times mean_t =(1-0.3) \times 0.6 + 0.3 \times 2 =1.02$
網絡還沒進行前向傳播之前，斷點查看 bn 層的屬性如下：
## nn.BatchNorm2d()
輸入數據的形狀是 $B \times C \times 2D_feature$。在下面的例子中，數據的維度是：(3, 3, 2, 2)，表示一個 mini-batch 有 3 個樣本，每個樣本有 3 個特征，每個特征的維度是 $1 \times 2$。那么就會計算 3 個均值和方差，分別對應每個特征維度。momentum 設置為 0.3，第一次的均值和方差默認為 0 和 1。輸入兩次 mini-batch 的數據。
數據如下圖：
代碼如下：
batch_size = 3
num_features = 3
momentum = 0.3
features_shape = (2, 2)
feature_map = torch.ones(features_shape) # 2D
feature_maps = torch.stack([feature_map*(i+1) for i in range(num_features)], dim=0) # 3D
feature_maps_bs = torch.stack([feature_maps for i in range(batch_size)], dim=0) # 4D
# print("input data:\n{} shape is {}".format(feature_maps_bs, feature_maps_bs.shape))
bn = nn.BatchNorm2d(num_features=num_features, momentum=momentum)
running_mean, running_var = 0, 1
for i in range(2):
outputs = bn(feature_maps_bs)
print("\niter:{}, running_mean: {}".format(i, bn.running_mean))
print("iter:{}, running_var: {}".format(i, bn.running_var))
print("iter:{}, weight: {}".format(i, bn.weight.data.numpy()))
print("iter:{}, bias: {}".format(i, bn.bias.data.numpy()))
輸出如下：
iter:0, running_mean: tensor([0.3000, 0.6000, 0.9000])
iter:0, running_var: tensor([0.7000, 0.7000, 0.7000])
iter:0, weight: [1. 1. 1.]
iter:0, bias: [0. 0. 0.]
iter:1, running_mean: tensor([0.5100, 1.0200, 1.5300])
iter:1, running_var: tensor([0.4900, 0.4900, 0.4900])
iter:1, weight: [1. 1. 1.]
iter:1, bias: [0. 0. 0.]
nn.BatchNorm3d()
輸入數據的形狀是 $B \times C \times 3D_feature$。在下面的例子中，數據的維度是：(3, 2, 2, 2, 3)，表示一個 mini-batch 有 3 個樣本，每個樣本有 2 個特征，每個特征的維度是 $2 \times 2 \times 3$。那么就會計算 2 個均值和方差，分別對應每個特征維度。momentum 設置為 0.3，第一次的均值和方差默認為 0 和 1。輸入兩次 mini-batch 的數據。
數據如下圖：
代碼如下：
batch_size = 3
num_features = 3
momentum = 0.3
features_shape = (2, 2, 3)
feature = torch.ones(features_shape) # 3D
feature_map = torch.stack([feature * (i + 1) for i in range(num_features)], dim=0) # 4D
feature_maps = torch.stack([feature_map for i in range(batch_size)], dim=0) # 5D
# print("input data:\n{} shape is {}".format(feature_maps, feature_maps.shape))
bn = nn.BatchNorm3d(num_features=num_features, momentum=momentum)
running_mean, running_var = 0, 1
for i in range(2):
outputs = bn(feature_maps)
print("\niter:{}, running_mean.shape: {}".format(i, bn.running_mean.shape))
print("iter:{}, running_var.shape: {}".format(i, bn.running_var.shape))
print("iter:{}, weight.shape: {}".format(i, bn.weight.shape))
print("iter:{}, bias.shape: {}".format(i, bn.bias.shape))
輸出如下：
iter:0, running_mean.shape: torch.Size([3])
iter:0, running_var.shape: torch.Size([3])
iter:0, weight.shape: torch.Size([3])
iter:0, bias.shape: torch.Size([3])
iter:1, running_mean.shape: torch.Size([3])
iter:1, running_var.shape: torch.Size([3])
iter:1, weight.shape: torch.Size([3])
iter:1, bias.shape: torch.Size([3])
Layer Normalization
提出的原因：Batch Normalization 不適用於變長的網絡，如 RNN
思路：每個網絡層計算均值和方差
注意事項：
- 不再有 running_mean 和 running_var
- $\gamma$ 和 $\beta$ 為逐樣本的
``` torch.nn.LayerNorm(normalized_shape, eps=1e-05, elementwise_affine=True) ```
參數：
- normalized_shape：該層特征的形狀，可以取 $C \times H \times W$、$H \times W$、$W$
- eps：標准化時的分母修正項
- elementwise_affine：是否需要逐個樣本 affine transform
下面代碼中，輸入數據的形狀是 $B \times C \times feature$，(8, 2, 3, 4)，表示一個 mini-batch 有 8 個樣本，每個樣本有 2 個特征，每個特征的維度是 $3 \times 4$。那么就會計算 8 個均值和方差，分別對應每個樣本。
batch_size = 8
num_features = 2
features_shape = (3, 4)
feature_map = torch.ones(features_shape) # 2D
feature_maps = torch.stack([feature_map * (i + 1) for i in range(num_features)], dim=0) # 3D
feature_maps_bs = torch.stack([feature_maps for i in range(batch_size)], dim=0) # 4D
# feature_maps_bs shape is [8, 6, 3, 4], B * C * H * W
# ln = nn.LayerNorm(feature_maps_bs.size()[1:], elementwise_affine=True)
# ln = nn.LayerNorm(feature_maps_bs.size()[1:], elementwise_affine=False)
# ln = nn.LayerNorm([6, 3, 4])
ln = nn.LayerNorm([2, 3, 4])
output = ln(feature_maps_bs)
print("Layer Normalization")
print(ln.weight.shape)
print(feature_maps_bs[0, ...])
print(output[0, ...])
Layer Normalization
torch.Size([2, 3, 4])
tensor([[[1., 1., 1., 1.],
[1., 1., 1., 1.],
[1., 1., 1., 1.]],
[[2., 2., 2., 2.],
[2., 2., 2., 2.],
[2., 2., 2., 2.]]])
tensor([[[-1.0000, -1.0000, -1.0000, -1.0000],
[-1.0000, -1.0000, -1.0000, -1.0000],
[-1.0000, -1.0000, -1.0000, -1.0000]],
[[ 1.0000, 1.0000, 1.0000, 1.0000],
[ 1.0000, 1.0000, 1.0000, 1.0000],
[ 1.0000, 1.0000, 1.0000, 1.0000]]], grad_fn=<SelectBackward>)
Layer Normalization 可以設置 normalized_shape 為 (3, 4) 或者 (4)。
Instance Normalization
提出的原因：Batch Normalization 不適用於圖像生成。因為在一個 mini-batch 中的圖像有不同的風格，不能把這個 batch 里的數據都看作是同一類取標准化。
思路：逐個 instance 的 channel 計算均值和方差。也就是每個 feature map 計算一個均值和方差。
包括 InstanceNorm1d、InstanceNorm2d、InstanceNorm3d。
以InstanceNorm1d為例，定義如下：
torch.nn.InstanceNorm1d(num_features, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=False, track_running_stats=False)
參數：
- num_features：一個樣本的特征數，這個參數最重要
- eps：分母修正項
- momentum：指數加權平均估計當前的的均值和方差
- affine：是否需要 affine transform
- track_running_stats：True 為訓練狀態，此時均值和方差會根據每個 mini-batch 改變。False 為測試狀態，此時均值和方差會固定
下面代碼中，輸入數據的形狀是 $B \times C \times 2D_feature$，(3, 3, 2, 2)，表示一個 mini-batch 有 3 個樣本，每個樣本有 3 個特征，每個特征的維度是 $2 \times 2 $。那么就會計算 $3 \times 3 $ 個均值和方差，分別對應每個樣本的每個特征。如下圖所示：
下面是代碼：
batch_size = 3
num_features = 3
momentum = 0.3
features_shape = (2, 2)
feature_map = torch.ones(features_shape) # 2D
feature_maps = torch.stack([feature_map * (i + 1) for i in range(num_features)], dim=0) # 3D
feature_maps_bs = torch.stack([feature_maps for i in range(batch_size)], dim=0) # 4D
print("Instance Normalization")
print("input data:\n{} shape is {}".format(feature_maps_bs, feature_maps_bs.shape))
instance_n = nn.InstanceNorm2d(num_features=num_features, momentum=momentum)
for i in range(1):
outputs = instance_n(feature_maps_bs)
print(outputs)
輸出如下：
Instance Normalization
input data:
tensor([[[[1., 1.],
[1., 1.]],
[[2., 2.],
[2., 2.]],
[[3., 3.],
[3., 3.]]],
[[[1., 1.],
[1., 1.]],
[[2., 2.],
[2., 2.]],
[[3., 3.],
[3., 3.]]],
[[[1., 1.],
[1., 1.]],
[[2., 2.],
[2., 2.]],
[[3., 3.],
[3., 3.]]]]) shape is torch.Size([3, 3, 2, 2])
tensor([[[[0., 0.],
[0., 0.]],
[[0., 0.],
[0., 0.]],
[[0., 0.],
[0., 0.]]],
[[[0., 0.],
[0., 0.]],
[[0., 0.],
[0., 0.]],
[[0., 0.],
[0., 0.]]],
[[[0., 0.],
[0., 0.]],
[[0., 0.],
[0., 0.]],
[[0., 0.],
[0., 0.]]]])
Group Normalization
提出的原因：在小 batch 的樣本中，Batch Normalization 估計的值不准。一般用在很大的模型中，這時 batch size 就很小。
思路：數據不夠，通道來湊。 每個樣本的特征分為幾組，每組特征分別計算均值和方差。可以看作是 Layer Normalization 的基礎上添加了特征分組。
注意事項：
-
不再有 running_mean 和 running_var
-
$\gamma$ 和 $\beta$ 為逐通道的
定義如下：
torch.nn.GroupNorm(num_groups, num_channels, eps=1e-05, affine=True)
參數：
- num_groups：特征的分組數量
- num_channels：特征數，通道數。注意 num_channels 要可以整除 num_groups
- eps：分母修正項
- affine：是否需要 affine transform
下面代碼中，輸入數據的形狀是 $B \times C \times 2D_feature$，(2, 4, 3, 3)，表示一個 mini-batch 有 2 個樣本，每個樣本有 4 個特征，每個特征的維度是 $3 \times 3 $。num_groups 設置為 2，那么就會計算 $2 \times (4 \div 2) $ 個均值和方差，分別對應每個樣本的每個特征。
batch_size = 2
num_features = 4
num_groups = 2
features_shape = (2, 2)
feature_map = torch.ones(features_shape) # 2D
feature_maps = torch.stack([feature_map * (i + 1) for i in range(num_features)], dim=0) # 3D
feature_maps_bs = torch.stack([feature_maps * (i + 1) for i in range(batch_size)], dim=0) # 4D
gn = nn.GroupNorm(num_groups, num_features)
outputs = gn(feature_maps_bs)
print("Group Normalization")
print(gn.weight.shape)
print(outputs[0])
輸出如下：
Group Normalization
torch.Size([4])
tensor([[[-1.0000, -1.0000],
[-1.0000, -1.0000]],
[[ 1.0000, 1.0000],
[ 1.0000, 1.0000]],
[[-1.0000, -1.0000],
[-1.0000, -1.0000]],
[[ 1.0000, 1.0000],
[ 1.0000, 1.0000]]], grad_fn=<SelectBackward>)
參考資料
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