題目可簡化為求：
\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n!}{[gcd(i,m!)=1]}（1到n!中，所有與m!互質的數的個數） \]
如何求解：
首先假設有\(gcd(a,b) = 1\)，則一定有\(gcd(a+b,b)=1\)。
所以考慮把\(n!\)分為\(\frac{n!}{m!}\)塊，其中\(m \leq n\)，所以\(n!\) mod \(m!\) 一定等於\(0\)，即我們分出的一定是整數塊。
而且其中每一塊中與\(m!\)互質的數的個數一定是相等的。
此時我們的式子為：
\[\frac{n!}{m!}\times\displaystyle\sum_{i=1}^{m!}[gcd(i,m!)=1] \]
其中
\[\displaystyle\sum_{i=1}^{m!}[gcd(i,m!)=1] \]
等等，是不是看着有點眼熟？小於等於\(m!\)的正整數中與\(m!\)互質的數的數目...不就是歐拉函數的定義嗎？
那這不就是\(\varphi(m!)\)嗎？
於是我們的式子就可以完美的變為：
\[\frac{n!}{m!}\times\varphi(m!) \]
因為求\(\varphi(i)\)的公式為：
\[\varphi(i)=i\times\frac{p_1-1}{p_1}\times...\times\frac{p_x-1}{p_x}（p為i的所有質因數） \]
把\(\varphi(i)\)換為\(\varphi(m!)\)代進\(\frac{n!}{m!}\times\varphi(m!)\)去展開：
\[\frac{n!}{m!}\times\varphi(m!)=\frac{n!}{m!}\times m!\times\frac{p_1-1}{p_1}\times...\times\frac{p_x-1}{p_x} \]
於是我們的式子就可以化簡為：
\[n!\times\frac{p_1-1}{p_1}\times...\times\frac{p_x-1}{p_x} \]
注意此時\(p\)為\(m!\)的所有質因數。
那么我們的問題就轉化為求：
\[n!\times\frac{p_1-1}{p_1}\times...\times\frac{p_x-1}{p_x} \]
\(n!\)好求，對於\(\frac{p_1-1}{p_1}\times...\times\frac{p_x-1}{p_x}\)我們線性求出逆元即容易求出。
線性預處理出來\(1\)到\(maxn\)的所有\(i!\)和\(\frac{p_1-1}{p_1}\times...\times\frac{p_x-1}{p_x}\)即可\(O(1)\)的詢問。
時間復雜度為\(O(1e7+t)\)。
由蒟蒻代碼自帶大常數+某谷評測機不穩定，有時候能過有時候不能過，開了\(O_2\)穩過。
代碼：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<typename temp>
void read(temp &x){
x = 0;temp f = 1;char ch;
while(!isdigit(ch = getchar())) (ch == '-') and (f = -1);
for(x = ch^48; isdigit(ch = getchar()); x = (x<<1)+(x<<3)+(ch^48));
return (void)(x *= f);
}
template <typename temp, typename ...Args>
void read(temp& a, Args& ...args){read(a), read(args...);}
const int maxn = 1e7+10;
int t, mod, n, m, cnt, prime[maxn];
long long inv[maxn], fac[maxn], fi[maxn];
bool is_prime[maxn];
void memset_mine(){
fac[0] = fac[1] = inv[0] = inv[1] = fi[0] = fi[1] = 1;
for(int i = 2; i <= maxn; i ++){
fac[i] = (fac[i-1]*i)%mod, inv[i] = mod-mod/i*inv[mod%i]%mod;
fi[i] = fi[i-1];
if(!is_prime[i]) prime[++cnt] = i, fi[i] = (fi[i]%mod*(i-1)%mod*inv[i]%mod)%mod;
for(int j = 1; j <= cnt and i*prime[j] <= maxn; j ++){
is_prime[i*prime[j]] = 1;
if(!(i%prime[j])) break;
}
}
}
signed main(){
read(t, mod);
memset_mine();
while(t --){
read(n, m);
printf("%lld\n", fac[n]%mod*fi[m]%mod);
}
return 0;
}
沒啦qwq。