簡述
網絡流主要可以拿來解決一些跟有向關系相關的問題，例如液體在管道中的流動、貨物的運載、網絡中的信息波動等。
簡單介紹一下它：在一個有向圖上選擇一個源點s、一個匯點t。源點只流出，匯點只流進。同時，一條邊\((u,v)\)經過的流量記為\(f(u,v)\),也有允許通過的最大流量稱為容量,記為\(c(u,v)\)。（若該邊不存在，則\(c(u,v)=0\)）。除了源點和匯點以外的每個店入流和出流都相等。一條邊上的剩余流量（沒有用完的）稱為殘量，即 容量-流量。
因此網絡流模型可以形象地描述為：在每一條邊都不超過容量限制的前提下，“流”從源點源源不斷地產生，最終全部歸於匯點。
基本性質
- \(f(u,v)\le c(u,v)\)（容量限制）
- 對於任何一個不是源點或匯點的點\(\text{u}\),總有 \(\sum_{p\in E}f(p,u)=\sum_{q\in E}f(u,q)\)
因為入流和出流相等（流量平衡） - 對於任何一條有向邊\((u,v)\),總有\(f(u,v)=-f(v,u)\) （斜對稱性）
最大流
先講一下比較簡單的最大流問題。
直接從字面意思即可理解，從源點流到匯點的流量最大就是最大流。
算法思想：從零流（所有邊的流量均為0）開始不斷增加流量，保持每次增加流量后都滿足以上性質（增加流量，也就是減去容量時要相應的給反向邊加上等量的容量，便於反悔）。計算每條邊上的殘量，得到殘量網絡，再繼續在殘量網絡中嘗試增加流量。
增廣路算法基於：殘量網絡中任何一條從\(s\)到\(t\)的有向道路都對應一條原圖中的增廣路——只要求出該道路中所有容量的最小值\(minf\)，把對應的所有邊上的流量減去\(minf\)，在答案里加上它即可，這個過程被稱為增廣。
顯然只要殘量網絡中存在增廣路，流量就可以增大；反之，如果不存在增廣路，流量就已經最大。（增廣路定理）
順便也講一下最大流最小割定理。
最小割
- 割：對於一個網絡流圖\(G=(V,E)\)，其割的定義為一種點的划分方式：將所有的點划分為\(S\)和\(T=V-S\)兩個集合，其中源點\(s\in S\)，匯點\(t\in T\)。
- 割的容量：定義割的容量\(c(S,T)\)表示所有從\(S\)到\(T\)的邊的容量之和，即\(c(S,T)=\sum_{u\in S,v\in T}c(u,v)\)。當然也可以用\(c(s,t)\)表示割的容量。
- 最小割：使得容量最小的割\((S,T)\)。也可以理解為使得\(S\)和\(T\)不聯通所需要刪去邊權最小的割。
最大流最小割
- 定理：\(f(s,t)_{max}=c(s,t)_{min}\)
- 證明：對於任意一個可行流\(f(s,t)\)和任意割\((S,T)\)，有：\(f(s,t)=S_\text{出邊的總流量}-S_\text{入邊的總流量}\le S_\text{出邊的總流量}=c(s,t)\)。而當達到最大流時，殘量網絡中不存在從\(s\)到\(t\)的增廣路，所以\(S\)的出邊都是滿流，上式等號成立。同時，上式的另一表達形式為\(f(s,t)_{max}\le c(s,t)_{min}\)。又因等號可以取到，則\(f(s,t)_{max}=c(s,t)_{min}\)，證畢。
問題模型
一般在最小割的問題中，割掉一條邊表示選擇某個條件，而邊權表示的是選擇這個條件的價值。至於該價值的貢獻是好是壞，則根據你如何使用這個價值而定。
舉個例子，對於二分圖，有點集\(U,V\)。\(\forall e=(u,v) (u\in U,v\in V)\)表示u、v中至少選擇一個，保證無孤立點，求最小點權覆蓋集。
設左邊為點集\(U\)，右邊為點集\(V\)，如圖所示連邊。割掉紅色邊表示選擇\(U\)中某個點，其點權設為\(val_u\)；割掉藍色邊表示選擇該邊兩端的點，其點權設為\(val_u+val_v\)；割掉橙色邊表示選擇\(V\)中某個點，邊權設為\(val_v\)。這樣一來，若一條邊不從\(s\)連通到\(t\)，則表示至少有一個點被選中，求得的最小割即為最小點權之和，覆蓋集可通過邊的使用情況求得。
事實上，我們都清楚，為了使點權之和最小化，藍色的邊是不會被割掉的。而仍然要設置它的原因，一是為了結合問題背景來建模，二是讓它承擔通道的角色，保證網絡流圖的性質。問題建模是非常值得琢磨的。
如果轉換一下，邊的限制變成u、v中至多選一個，求最大點權獨立集。其本質相同，因為至多選一個等價於至少刪去一個。由此可以看出，最大點權獨立集為最小點權覆蓋集的補集，其解法自然也就不言而喻了。
這里只是提供了一個參考的思路，具體的問題還要具體分析。
最小割的邊數
將邊權設為1重新求一遍最小割即可。
最小割集的求解
由於使用網絡流解決此類問題效率較為低下，普遍使用\(\texttt{Stoer-Wagner}\)算法進行求解，有興趣可自行查閱。
一些小細節
-
存圖的時候要從偶數開始存，同時存正向邊和反向邊（這樣就可以保證正向邊編號全為偶數，反向邊編號為 i^1（奇偶性相反））
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反向邊怎么用？因為找到的增廣路不一定是最優的，反邊給你“反悔”的機會。如果一條邊邊權為0，那么往回走的時候並不會對流量有所影響（走不回去）。所以一開始反邊的邊權應該存0。當正向邊減去流過這條邊的增廣路上容量最小值d（此時這個值已經被加入到了答案）的時候，反向邊應該加上d（因為對於源點和匯點來說中間流量的這些變化都是無差別的，為了保證反向正向相加得原邊權，也就是不改變原本的條件就得這么做）
Edmonds-Karp(EK) 便是不斷用\(\texttt{BFS}\)來尋找增廣路，直到圖中不存在增廣路的算法。
但是如果一條一條地找出增廣路，萬一有一些極（毒）端（瘤）數據（比如幾條相鄰的邊容量相差特別大），這個時間復雜度就是無法承受的。Dinic的高效之處在於它能夠同時找出幾條增廣路.
關於最大流，我還沒有講完！當然，實際上在大部分情況下以上兩個算法已經夠用（我認為）。可以先跳過剩下有關最大流的算法。
（這里應該有ISAP和HLPP）
最大流/最小割 練習題
費用流
假如流經一條邊有對應流量的花費，那么問題就可以有更多的變式了。
- 定義一條邊的費用\(w(u,v)\)表示單位流量流經所需花費的費用。即，當邊\((u,v)\)的流量為\(f(u,v)\)時，需要花費\(f(u,v)\times w(u,v)\)的費用。
類似的，我們先從最小費用最大流引入。即在最大化流量的基礎上使得總花費最小。
這當然和上面的最大流相關。之前尋找增廣路的方式是\(\texttt{BFS}\)，對於\(\texttt{EK}\)來說，就是在邊權為1的圖上找到\(s\rightarrow t\)的一條最短路。那么，將 \(\texttt{BFS}\) 更換為尋找最短路的算法，邊權設為\(w(u,v)\)，會產生什么樣的效果呢？
這樣的方式，既保證了最短路的性質，也保證了增廣路的性質。由於每單位流到匯點的流量都要花費途經的邊權之和，則最短路的性質使得了這些每次從最短路流過的流量是最划算的。在這樣的情境下，反向邊相當於退錢，所以要將邊權設為\(-w(u,v)\)。
而 \(\texttt{Dinic}\) 是同時找到多條增廣路的算法，只需將 \(\texttt{BFS}\) 更改為最短路算法的同時，限制流量只能由當前點流向到匯點的最短路上的點即可。
因為有負權邊的存在，所以不能直接采用 \(\texttt{Dijkstra}\) ，應該采用 \(\texttt{SPFA}\) 或經由 \(\texttt{Primal-Dual（原始對偶算法）}\) 處理的 \(\texttt{Dijkstra}\) 。同時，由於向下走的條件發生改變，有可能會往回走，所以需要標記當前鏈上的點，防止陷入無限循環。
上下界網絡流
無源匯上下界可行流
給定一個網絡無源點匯點，且每條邊的流量有上限\(high\)和下限\(low\)，問使得該網絡流量平衡的一種流量方案。
沒有源匯點意味着流一定要形成循環，否則不滿足流量平衡的條件。
不妨假設有解，先將所有的下界強制流滿（不考慮流量平衡的情況），然后考慮如何調整使得流量平衡。
設超級源點\(ss\)，超級匯點\(st\)。對於每條邊\(e=(u, v, high, low)\)，添加\(u\)至\(st\)和\(ss\)至\(v\)容量為\(low\)的邊，將\((u,v)\)的容量設為\(high-low\)。
把\(low\)從\(u\)處導走，並在\(v\)處加回便是一個強制流滿下界的操作，同時不會影響到原本的網絡；\((u,v)\)的流量設為\(high-low\)是為了限制流量的上界。
接下來跑一遍從\(ss\)到\(st\)的最大流，若能把所有附加的邊全部跑滿，則說明在滿足上界限制的情況下所有的下界限制均被滿足，合法方案即為每條邊下界流量加上跑完這遍網絡流之后所用的流量；否則無解。
一個小優化是，兩個點之間無下界無費用的流可以合並。
無源匯上下界最小費用流
將后面那個最大流改成最小費用最大流即可。
有源匯上下界可行流
添加一條由匯點\(t\)到\(s\)的下界為0，上界為正無窮的邊即可轉化為無源匯上下界可行流。
若有解，\(s\)到\(t\)的可行流流量即為該附加邊所流的流量。
有源匯上下界最大流
一種方法是二分\(t\)到\(s\)的附加邊的下界，然后跑普通可行流判斷合法性。
另一種方法是先附加一條無下界的正無窮的邊，變成無源匯跑一遍可行流之后若存在合法方案便將其刪去，在剩余的網絡中跑一遍從\(s\)到\(t\)的普通最大流，答案為可行流的流量加上最大流得到的流量。這個也很好理解，先跑一遍可行流滿足下界，之后在上界的限制下繼續嘗試增廣得到實際的最大流。
*注意：最大流是在跑完可行流的網絡上跑，不要跑到初始網絡上。
有源匯上下界最小流
一種是二分\(t\)到\(s\)的附加邊的上界，然后跑普通可行流判斷合法性。
另一種方法是先附加一條無下界的正無窮的邊，變成無源匯跑一遍可行流之后若存在合法方案便將其刪去，在剩余的網絡中跑一遍從\(t\)到\(s\)的普通最大流，答案為可行流的流量減去最大流得到的流量。簡單來說，就是先找到可行的方案，再把能退回去的流都退回去。
注意事項同上。
參考
- EK不夠快？ 再學個Dinic吧 by 錢逸凡
- Dinic算法 by SYCstudio
- 從入門到精通：最小費用流的“zkw”算法 by zkw
- 基於 Capacity Scaling 的弱多項式復雜度最小費用流算法 by ouuan
- OI Wiki
- 《算法競賽入門經典第二版》
- 《算法競賽進階指南》
- 《算法導論》