參考：
https://wiki.mbalib.com/wiki/金融風險測度理論
http://www.acourse.net/article/detail/708
https://www.gaodun.com/frm/49684.html
ttps://www.jianshu.com/p/f4e3a3d8c21a
金融風險管理是各類金融機構所從事的全部業務和管理活動中最核心的內容，它和時間價值、資產定價被並稱為是現代金融理論的三大支柱。
金融風險管理分為識別風險、測量風險、處理風險以及風險管理的評估和調整四個步驟。其中，金融風險的測量是金融市場風險管理的核心環節。風險測量的質量，很大程度上決定了金融市場風險管理的有效性；合理風險測度指標的選取，是提高風險測量質量的有效保障。
風險管理的基礎工作是度量風險，而選擇合適的風險度量指標和科學的計算方法是正確度量風險的基礎，也是建立一個有效風險管理體系的前提。風險測度就是各種風險度量指標的總稱。
風險測度理論的發展大致經歷了三個階段：
傳統風險測度工具包括方差、半（下）方差、下偏矩LPM（Low Partial Moments）、久期（duration）、凸性（convexity）、beta、delta、gamma、theta、vega、rho等，這些指標分別從不同的角度反映了投資價值對風險因子的敏感程度，因此被統稱為風險敏感性度量指標。風險敏感性度量指標只能在一定程度上反映風險的特征，難以全面綜合地度量風險，因此只能適用於特定地金融工具或在特定的范圍內使用。
現行的國際標准風險管理工具VaR最初由J.P. Morgan針對其銀行業務風險的需要提出的，並很快被推廣成為了一種產業標准。風險價值VaR是指在正常的市場條件和給定的置信水平下，在給定的持有期間內，投資組合所面臨的潛在最大損失。VaR是借助概率論和數理統計的方法對金融風險進行量化和測度。它最大的優點是可以得出多維風險的一個一維近似值，可用於測量不同市場的不同風險並用一個數值表示出來，因此具有廣泛的適用性。巴塞爾銀行監督委員會、美國聯邦儲備銀行、美國證券交易委員會、歐盟都接受 VaR作為風險度量和風險披露的工具。
但是，VaR作為風險測度的指標，不滿足一致性風險測度四條公理中的次可加性公理，不是一種一致性風險測度指標。這就意味着當用VaR度量風險時，某種投資組合的風險可能會比各組成成分證券風險之和還要大，從而導致投資者不願多樣化投資的情況。而且 VaR不能測度超過VaR的損失、不適用於非橢球分布函數族、VaR有許多局部極值導致VaR排序不穩定等缺陷，決定着VaR並不是一種合適的風險測度指標。
基於上述風險測度的局限性，Artzner等（1999）提出了一致性風險測度（Coherent Risk Measure）概念。他們認為一種良好定義的風險測度應該滿足單調性、正齊次性、平移不變性和次可加性四條公理，並將滿足這些公理的風險測度成為一致性風險測度。定義ρ(X)為風險測度，X為資產x的損失金額，X是一個隨機變量。
次可加性：ρ(X+Y)≤ρ(X)+ρ(Y)。這個最重要的性質反映了投資組合具有分散風險的特點。因此，任一投資組合的總風險應當不超過該組合中每個構成部分風險之和。
單調性：如果在未來的每一種狀態下， X≤Y，那么ρ(X)≤ρ(Y)。換而言之，如果一個資產組合占優於另一個資產組合，即前者隨機收益的各分量大於或等於后者隨機收益所對應的分量，則前者的風險至少不大於后者。也就是說，優質資產的風險應該比劣質資產的風險小。
正齊次性：對於λ>0，ρ(λX)= λρ(X)。正齊次性指如果資產的構成保持不變，那么資產的風險水平與資產的規模成正比，即風險度量不受風險計量單位的影響。另外，此性質也可被看作是次可加性的一個特例，反映了沒有分散風險的情況。
平移不變性：對常數c，ρ(X+c)= ρ(X)-c。即意味着：ρ(X + ρ(X)) = ρ(X) − ρ(X) = 0。該性質表明若增加無風險頭寸到投資組合中，則組合的風險隨着無風險資產頭寸的增加而減少。指在未來每一種狀態下的損失金額的基礎上，都可以獲得現金c作為補償，那么風險水平也相應下降了c。上式意味着，如果用數量為ρ(X)的資本或保證金加入到投資組合X之中，則恰好可以抵消投資組合X的風險。因此，平移不變性公理要求風險測度在數值上就是為抵消投資組合的風險而需要提供的資本或保證金的數量。
在一致性公理的四大條件中，次可加性是最為重要的。若不滿足次可加性，就不是凸性的風險計量，我們也就不能通過優化來求得最小風險投資組合。而且，當風險度量函數不滿足次可加性時，投資組合的風險度量值會大於投資組合中各項資產的風險度量值的和，這將產生一個錯誤的風險規避策略：一個包含多個部門的金融機構只要將其資產分別划分給其下的各個部門，由各個部門分別計算風險度量值再求和，就能實現整個金融機構的風險降低。顯然，違背次可加性將有可能給金融監管系統帶來系統漏洞。
舉例：假設x是一個深度虛值（deep out-of-the-money）的看跌期權，y是一個深度虛值的看漲期權。這兩個期權都還有一天到期，並且在到期日變成實值期權的概率都是4%。從空頭的角度出發，這兩個期權在95%的置信水平下1天的VaR都為0。可是如果把這兩個期權組成一個投資組合，那么對於空頭來說，到期時需要對多頭支付的概率是8%，在95%的置信水平下1天的VaR顯然是一個正數。所以通過投資組合，不僅沒有降低風險，還創造了風險，這是違背一般的投資常識的。
可以證明，當且僅當投資組合的收益呈正態分布時，VaR才滿足次可加性，進而滿足一致性要求。但是，經過眾多學者的理論探索與實證檢驗，無論是在國內或是國外的金融市場，投資組合的收益分布都是尖峰、厚尾和有偏的，即不滿足正態分布。這也意味着，用VaR來衡量投資組合風險是不滿足次可加性的，不符合一致性公理的要求。
如果基於VaR來計算法定資本，就會存在監管套利（Regulatory Arbitrage），與上例的思路相反，銀行可以成立很多附屬機構來銷售期權，從而降低資本要求。如果風險測度是滿足次可加性的，那么通過投資組合分散化可以降低風險測度的水平，從而節省監管資本，這是符合一般的投資常識的。
標准差（Standard Deviation）滿足一致性風險測度的四個性質，但標准差的缺陷在於衡量的是平均的偏離程度，而不是下跌的尾部風險。
另一個一致性風險測度是損失期望值（Expected Shortfall），衡量的是尾部區域的損失的均值。
數理金融學家隨后在一致性風險測度四公理基礎上提出了幾種形式不同的一致性風險測度指標，其中ES是最常用的一種。ES就是投資組合在給定置信水平決定的左尾概率區間內可能發生的平均損失，因此被稱為Expected Shortfall。ES對於損失X的分布沒有特殊的要求，在分布函數連續和不連續的情況下都能保持一致性風險測度這一性質，使ES不僅可以應用到任何的金融工具的風險測量和風險控制，也可以處理具有任何分布形式的風險源，而且保證了在給定風險量的約束條件下最大化預期收益組合的唯一性。
VaR與一階傳統隨機占優是一致的，ES風險測度與二階傳統隨機占優是一致的；但是，VaR與二階及二階以上傳統隨機占優不是一致的，ES風險測度與三階及三階以上傳統隨機占優不是一致的，在特定情況下，運用VaR和ES都不能做出正確的投資決策。
VaR
(1)Used for risk control and performance assessment.
(2)Easy to understand.
(3)Advanced method.
(4)Single instrument or portfolio
(1)Did not contain worst conditions,did not describe tail loss.
FRM考試中：https://www.gfedu.cn/frm/content_21169.shtml