朴素貝葉斯詳解

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貝葉斯分類是一類分類算法的總稱，這類算法均以貝葉斯定理為基礎，故統稱為貝葉斯分類。而朴素貝葉斯分類是貝葉斯分類中最簡單，也是常見的一種分類方法。這篇文章我們從一個例子入手，詳細的分析整個朴素貝葉斯的計算流程，以及如何完成分類的。

朴素貝葉斯的數學描述：

從數學角度來說，分類問題可做如下定義：已知集合和，確定映射規則y = f(x)，使得任意有且僅有一個,使得成立。

其中C叫做類別集合，其中每一個元素是一個類別，而I叫做項集合（特征集合），其中每一個元素是一個待分類項，f叫做分類器。分類算法的任務就是構造分類器f。

分類算法的內容是要求給定特征，讓我們得出類別，這也是所有分類問題的關鍵。那么如何由指定特征，得到我們最終的類別，也是我們下面要講的，每一個不同的分類算法，對應着不同的核心思想。

一、朴素貝葉斯的理論

核心數學公式：

換一種通俗的理解方式：

 我們最終求的p(類別|特征)即可！就相當於完成了我們的任務。

二、例題分析

1.例子的簡要說明

現在給我們的問題是，如果一對男女朋友，男生想女生求婚，男生的四個特點分別是不帥，性格不好，身高矮，不上進，請你判斷一下女生是嫁還是不嫁？

這是一個典型的分類問題，轉為數學問題就是比較p(嫁|(不帥、性格不好、身高矮、不上進))與p(不嫁|(不帥、性格不好、身高矮、不上進))的概率，誰的概率大，我就能給出嫁或者不嫁的答案！

這里我們聯系到朴素貝葉斯公式：

我們需要求p(嫁|(不帥、性格不好、身高矮、不上進),這是我們不知道的，但是通過朴素貝葉斯公式可以轉化為好求的三個量.

p(不帥、性格不好、身高矮、不上進|嫁)、p（不帥、性格不好、身高矮、不上進)、p(嫁)（至於為什么能求，后面會講，那么就太好了，將待求的量轉化為其它可求的值，這就相當於解決了我們的問題！）

2.例子的深入理解分析

上文中的好求的三個量怎樣求的？

是根據已知訓練數據統計得來，下面詳細給出該例子的求解過程。

回憶一下我們要求的公式如下：

那么我只要求得p(不帥、性格不好、身高矮、不上進|嫁)、p（不帥、性格不好、身高矮、不上進)、p(嫁)即可，好的，下面我分別求出這幾個概率，最后一比，就得到最終結果。

p(不帥、性格不好、身高矮、不上進|嫁) = p(不帥|嫁)*p(性格不好|嫁)*p(身高矮|嫁)*p(不上進|嫁)，那么我就要分別統計后面幾個概率，也就得到了左邊的概率！

等等，為什么這個成立呢？學過概率論的同學可能有感覺了，這個等式成立的條件需要特征之間相互獨立吧！

這也就是為什么朴素貝葉斯分類有朴素一詞的來源，朴素貝葉斯算法是假設各個特征之間相互獨立，那么這個等式就成立了！

• 我們為什么需要假設特征之間相互獨立那？
  • 非獨立特征的關聯性，會隨着特征數量的增多，呈指數性增長 

    • 我們這么想，假如沒有這個假設，那么我們對右邊這些概率的估計其實是不可做的，這么說，我們這個例子有4個特征，其中帥包括{帥，不帥}，性格包括{不好，好，爆好}，身高包括{高，矮，中}，上進包括{不上進，上進}，那么四個特征的聯合概率分布總共是4維空間，總個數為2*3*3*2=36個。

      36個，計算機掃描統計還可以，但是現實生活中，往往有非常多的特征，每一個特征的取值也是非常之多，那么通過統計來估計后面概率的值，變得幾乎不可做，這也是為什么需要假設特征之間獨立的原因。

  • 搜索空間中同時滿足所有特征的樣本數量寥寥無幾

    • 假如我們沒有假設特征之間相互獨立，那么我們統計的時候，就需要在整個特征空間中去找，比如統計p(不帥、性格不好、身高矮、不上進|嫁),

      我們就需要在嫁的條件下，去找四種特征全滿足分別是不帥，性格不好，身高矮，不上進的人的個數，這樣的話，由於數據的稀疏性，很容易統計到0的情況。 這樣是不合適的。

根據上面倆個原因，朴素貝葉斯法對條件概率分布做了條件獨立性的假設，由於這是一個較強的假設，朴素貝葉斯也由此得名！這一假設使得朴素貝葉斯法變得簡單，但有時會犧牲一定的分類准確率。

3.拆成分開連乘形式

上面的公式整理：

下面我將一個一個的進行統計計算（在數據量很大的時候，根據中心極限定理，頻率是等於概率的，這里只是一個例子，所以我就進行統計即可）。

p(嫁)=？

整理訓練數據中，嫁的樣本數如下：

則 p(嫁) = 6/12（總樣本數） = 1/2

p(不帥|嫁)=？

統計滿足樣本數如下：

則p(不帥|嫁) = 3/6 = 1/2 在嫁的條件下，看不帥有多少

p(性格不好|嫁)= ？

統計滿足樣本數如下：

則p(性格不好|嫁)= 1/6

p（矮|嫁） = ?

統計滿足樣本數如下：

則p(矮|嫁) = 1/6

p(不上進|嫁) = ?

統計滿足樣本數如下：

則p(不上進|嫁) = 1/6

 

下面開始求分母，p(不帥)，p（性格不好），p（矮），p（不上進）

不帥統計如上紅色所示，占4個，那么p（不帥） = 4/12 = 1/3

性格不好統計如上紅色所示，占4個，那么p（性格不好） = 4/12 = 1/3

身高矮統計如上紅色所示，占7個，那么p（身高矮） = 7/12

不上進統計如上紅色所示，占4個，那么p（不上進） = 4/12 = 1/3

到這里，要求p(不帥、性格不好、身高矮、不上進|嫁)的所需項全部求出來了，下面我帶入進去即可

= (1/2*1/6*1/6*1/6*1/2)/(1/3*1/3*7/12*1/3)

---

 

下面我也一個一個來進行統計計算，這里與上面公式中，分母是一樣的，於是我們分母不需要重新統計計算！

p（不嫁）=？

根據統計計算如下（紅色為滿足條件）：

則p(不嫁)=6/12 = 1/2

p(不帥|不嫁) = ？

統計滿足條件的樣本如下（紅色為滿足條件）：

則p（不帥|不嫁） = 1/6

p（性格不好|不嫁） = ？

據統計計算如下（紅色為滿足條件）：

則p（性格不好|不嫁） =3/6 = 1/2

p（矮|不嫁） = ？

據統計計算如下（紅色為滿足條件）：

則p（矮|不嫁） = 6/6 = 1

p（不上進|不嫁） = ？

據統計計算如下（紅色為滿足條件）：

則p（不上進|不嫁） = 3/6 = 1/2

根據公式得：

p (不嫁|不帥、性格不好、身高矮、不上進) = ((1/6*1/2*1*1/2)*1/2)/(1/3*1/3*7/12*1/3)

很顯然p(不嫁|不帥、性格不好、身高矮、不上進) = (1/6*1/2*1*1/2) > (1/2*1/6*1/6*1/6*1/2) = p(嫁|不帥、性格不好、身高矮、不上進) 

 

於是有p (不嫁|不帥、性格不好、身高矮、不上進)>p (嫁|不帥、性格不好、身高矮、不上進)

所以我們根據朴素貝葉斯算法可以給這個女生答案，是不嫁！！！！

4、朴素貝葉斯分類的優缺點

優點：

（1） 算法邏輯簡單,易於實現（算法思路很簡單，只要使用貝葉斯公式轉化醫學即可！）

（2）分類過程中時空開銷小（假設特征相互獨立，只會涉及到二維存儲）

缺點：

（1）理論上，朴素貝葉斯模型與其他分類方法相比具有最小的誤差率。但是實際上並非總是如此，這是因為朴素貝葉斯模型假設屬性之間相互獨立，這個假設在實際應用中往往是不成立的，在屬性個數比較多或者屬性之間相關性較大時，分類效果不好。

（2）而在屬性相關性較小時，朴素貝葉斯性能最為良好。對於這一點，有半朴素貝葉斯之類的算法通過考慮部分關聯性適度改進。