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邊緣提取
在大多數時候圖像的邊緣可以承載大部分的信息，並且提取邊緣可以除去很多干擾信息，提高處理數據的效率
目標:
識別圖像中的突然變化(不連續)
- 圖像的大部分語義信息和形狀信息都可以編碼在邊緣上
- 理想:藝術家使用線條勾勒畫(但藝術家也使用對象層次的知識)
邊緣的種類
- 表面形狀的突變
- 深度方向的不連續
- 表面顏色的突變
- 光線陰影的不連續
邊緣的特征
邊緣是圖像強度函數中快速變化的地方，變化的地方就存在梯度，對灰度值求導，導數為0的點即為邊界點
卷積的導數
- 偏導數公式：
\[\frac {\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{f(x+\varepsilon ,y)-f(x,y)}{\varepsilon} \]
- 在卷積中為描述數據，采取 近似化處理：
\[\frac {\partial f(x,y)}{\partial x} \approx \frac{f(x+1,y)-f(x,y)}{1} \]
顯然在x方向的導數就是與該像素自身與右邊相鄰像素的差值
卷積描述偏導
使用卷積核處理
對灰度圖的x和y方向分別處理后的效果如下圖：
有限差分濾波器（卷積核）
- Roberts 算子
Roberts 算子是一種最簡單的算子，是一種利用局部差分算子尋找邊緣的算子。他采用對角線方向相鄰兩象素之差近似梯度幅值檢測邊緣。檢測垂直邊緣的效果好於斜向邊緣，定位精度高，對噪聲敏感，無法抑制噪聲的影響。
1963年， Roberts 提出了這種尋找邊緣的算子。 Roberts 邊緣算子是一個 2x2 的模版，采用的是對角方向相鄰的兩個像素之差。
Roberts 算子的模板分為水平方向和垂直方向，如下所示，從其模板可以看出， Roberts 算子能較好的增強正負 45 度的圖像邊緣。
\[dx = \left[ \begin{matrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] \]
\[dy = \left[ \begin{matrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right] \]
- Prewitt算子
Prewitt 算子是一種一階微分算子的邊緣檢測，利用像素點上下、左右鄰點的灰度差，在邊緣處達到極值檢測邊緣，去掉部分偽邊緣，對噪聲具有平滑作用。Prewitt算子適合用來識別噪聲較多、灰度漸變的圖像。
\[dx = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ \end{matrix} \right] \]
\[dy = \left[ \begin{matrix} -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ \end{matrix} \right] \]
- Sobel算子
Sobel算子是一種用於邊緣檢測的離散微分算子，它結合了高斯平滑和微分求導。Sobel 算子在 Prewitt 算子的基礎上增加了權重的概念，認為相鄰點的距離遠近對當前像素點的影響是不同的，距離越近的像素點對應當前像素的影響越大，從而實現圖像銳化並突出邊緣輪廓。
\[dx = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1\\ 2 & 0 & -2\\ 1 & 0 & -1\\ \end{matrix} \right] \]
\[dy = \left[ \begin{matrix} -1 & -2 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ \end{matrix} \right] \]
圖像梯度
\[\nabla f=[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}] \]
- 梯度指向強度增長最快的方向
- 梯度的角度
邊的方向與梯度方向垂直
\[\theta = tan^{-1} (\frac{\partial f}{\partial y}/\frac{\partial f}{\partial x}) \]
- 梯度的模長（幅值）
可以說明是邊緣的可能性大小
\[||\nabla f|| = \sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x})^2+(\frac{\partial f}{\partial y})^2} \]
- 處理圖像后：
高斯濾波器
當圖像的像素存在大量噪點時，相鄰的像素差異大，所求梯度也會偏大，無法提取邊緣信息。
解決方案
-
平滑處理：使用平滑濾波器去噪，使圖像信號變得平滑
-
再對處理后的信號求導，取極值
-
根據卷積的計算性質：\(\frac{d}{dx}(f*g) = f*\frac{d}{dx}g\)，先對平滑核求導，再進行卷積相乘來簡化運算，減少運算量
高斯濾波器
高斯濾波器的導數
參數選擇的越小則保留的細節越多
Candy 邊緣檢測
門限化
經過處理后，可以得到邊緣圖，但存在很多高頻噪點，通過設置更高的門限，過濾噪點，使得到的邊緣更“純粹”
非最大化抑制
在通過高斯濾波后可以得到圖像的大致輪廓線，由於圖像的像素變換通常是緩慢改變的， 在處理后的圖像中仍然存在大量的粗的“邊”
方案
- 檢查像素是否沿梯度方向為局部最大值，選擇沿邊緣寬度的最大值作為邊緣
- 處理后
經過上面的處理后，已經可以較為粗糙的得到圖像的邊緣圖，但仍然存在問題，在有些部分的邊 緣不連續，失去了很多信息如上圖的黃色區域，這是由於在門限化的過程中，設置過小，導致將需要的邊緣濾除。
雙門限法
- 先使用高門限將較粗的邊檢測出來，這些邊都是比較魯棒的，是噪聲的可能性極低
- 再降低門限，將較細的邊顯現出來
- 將與高門限過濾出的邊連接的低門限邊保留，濾除沒有連接的（不連續的）噪聲
- 處理后可以得到更好的邊緣效果
學習資源：北京郵電大學計算機視覺——魯鵬