碼上歡樂
相關內容    簡體    繁體

詳解活動圖計算關鍵路徑、最早開始時間、最晚開始時間、冗余時間，C++ 程序實現

本文轉載自   查看原文   2020-07-05 22:36   1797 

題目

下圖是一個軟件開發項目的活動圖，對於圖中每條邊的數字表示完成這條邊代表的活動的天數。例如，完成終止於里程碑E的活動需要 4 天時間。
對於每個活動，列出它的前驅，並計算最早開始時間、最晚開始時間和時差，然后確定出關鍵路徑。
—— 《軟件工程 第 4 版》中的原題

寫文緣由

網上的文章大都是對於 "點" 求最早開始時間和最晚開始時間。在我看來，是不准確的。

對於邊的解法，有的寫得又太復雜，還是自己寫吧。順便寫個程序自動化一下，舒服~

誤區在哪

需要注意的是，圖中的點，並不代表活動，並不能說活動 \(A\) 用 \(3\) 天到達活動 \(B\)，這是不准確的，圖上的點應該理解為 "里程碑"。如果說到達 里程碑 \(I\) 的邊有兩條 \(D \rightarrow I\) 和 \(B \rightarrow I\)，意思是有兩個活動，完成后到達里程碑 \(I\)，並不能說 \(I\) 是個活動，如果這么理解會在計算最晚開始時間時出現錯誤。

還有一點，時間軸從 \(1\) 開始算，即從點 \(A\) 出發時，時刻為 \(1\)。有些解法是從 \(0\) 開始算的，本文從 \(1\) 開始算。

解法

  • 正推求最早開始時間
    • 公式：\(\text{ET}_{B·} = \text{MAX}(\text{ET}_{AB} + w_{AB} )\)
    • 已知條件：起點的最早開始時間直接為 1
  • 倒推求最晚開始時間
    • 公式：\(\text{LT}_{JK} = \text{MIN}(\text{LT}_{K·} - w_{JK} )\)
    • 已知條件：終點的最晚開始時間 \(\text{LT}_{L·}=\text{ET}_{L·}\) （因為終點一定在關鍵路徑上，關鍵路徑上的點最早開始時間等於最晚開始時間）

解題示例

解：

先求最早開始時間 (Earliest Time Start)：

  • \(A\) 是起點，所有由 \(A\) 出發的邊的最早開始時間都為 \(1\)。即 \(\text{ET}_{AB} = \text{ET}_{AE} = \text{ET}_{AC} =\text{ET}_{A·}= 1\)
  • 來算 \(B\) 的最早開始時間，\(\text{ET}_{BD} = \text{ET}_{BI} = \text{ET}_{B·} =\text{MAX}(\text{ET}_{AB}+w_{AB}) =4\)。因為只有 \(A\) 才能到達 \(B\)，所以 MAX 內只有一個值。
  • 來算 \(E\) 的最早開始時間，\(\text{ET}_{EG} =\text{MAX}(\text{ET}_{AE}+w_{AE}) =5\)。因為只有 \(A\) 才能到達 \(E\)，所以 MAX 內只有一個值。
  • 來算 \(C\) 的最早開始時間，\(\text{ET}_{CF} =\text{MAX}(\text{ET}_{AC}+w_{AC}) =6\)。因為只有 \(A\) 才能到達 \(C\)，所以 MAX 內只有一個值。
  • 接下來 \(D、G、F\) 同理，省去廢話，結果是：\(\text{ET}_{DI} =\text{MAX}(\text{ET}_{BD}+w_{BD}) =9\) 、 \(\text{ET}_{GJ} =\text{ET}_{GH}=\text{ET}_{G·} =\text{MAX}(\text{ET}_{EG}+w_{EG}) =8\)、\(\text{ET}_{FH} =\text{MAX}(\text{ET}_{CF}+w_{CF}) =9\)
  • 看一下 \(I\)，入度為 \(2\)，\(\text{ET}_{IJ} =\text{MAX}(\text{ET}_{DI}+w_{DI}, \text{ET}_{BI}+w_{BI}) =\text{MAX}(11, 10) =11\)，下面的同理
  • \(\text{ET}_{HK} =\text{MAX}(\text{ET}_{GH}+w_{GH}, \text{ET}_{FH}+w_{FH}) =\text{MAX}(11, 10) =11\)
  • \(\text{ET}_{JL}=\text{ET}_{JK} =\text{MAX}(\text{ET}_{IJ}+w_{IJ}, \text{ET}_{GJ}+w_{GJ}) =\text{MAX}(13, 10) =13\)
  • \(\text{ET}_{KL}=\text{MAX}(\text{ET}_{JK}+w_{JK}, \text{ET}_{HK}+w_{HK}) =\text{MAX}(15, 15) =15\)
  • \(\text{ET}_{L·}=\text{MAX}(\text{ET}_{JL}+w_{JL}, \text{ET}_{KL}+w_{KL}) =\text{MAX}(21, 18) =21\)

自此，最早開始時間全部算完。

再求最晚開始時間 (Latest Time Start)：

  • 從終點倒着推，\(\text{LT}_{JL}=\text{MIN}(\text{LT}_{L·}-w_{JL}) =13\)，\(\text{LT}_{KL}=\text{MIN}(\text{LT}_{L·}-w_{KL}) =18\)
  • \(\text{LT}_{JK}=\text{MIN}(\text{LT}_{KL}-w_{JK}) =16\)
  • \(\text{LT}_{IJ}=\text{MIN}(\text{LT}_{JL}-w_{IJ}, \text{LT}_{JK}-w_{IJ}) =11\)
  • \(\text{LT}_{GJ}=\text{MIN}(\text{LT}_{JL}-w_{GJ}, \text{LT}_{JK}-w_{GJ}) =11\)
  • \(\text{LT}_{HK}=\text{MIN}(\text{LT}_{KL}-w_{HK}) =14\)
  • \(\text{LT}_{DI}=\text{MIN}(\text{LT}_{IJ}-w_{DI}) =9\)
  • \(\text{LT}_{BI}=\text{MIN}(\text{LT}_{IJ}-w_{BI}) =5\)
  • \(\text{LT}_{GH}=\text{MIN}(\text{LT}_{HK}-w_{GH}) =11\)
  • \(\text{LT}_{BD}=\text{MIN}(\text{LT}_{DI}-w_{BD}) =4\)
  • \(\text{LT}_{EG}=\text{MIN}(\text{LT}_{GJ}-w_{GH}, \text{LT}_{GH}-w_{EG}) =8\)
  • \(\text{LT}_{FH}=\text{MIN}(\text{LT}_{HK}-w_{FH}) =13\)
  • \(\text{LT}_{CF}=\text{MIN}(\text{LT}_{FH}-w_{CF}) =10\)
  • \(\text{LT}_{AB}=\text{MIN}(\text{LT}_{BD}-w_{AB},\text{LT}_{BI}-w_{AB}) =1\)
  • \(\text{LT}_{AE}=\text{MIN}(\text{LT}_{EG}-w_{AE}) =4\)
  • \(\text{LT}_{AC}=\text{MIN}(\text{LT}_{CF}-w_{AC}) =5\)

（上述過程，看似繁瑣，但是考試計算時，在圖中對應的邊上邊寫邊算，還是挺快的）

根據上述數據，列表如下（其中冗余時間等於最早最晚兩者的差）：

活動 前驅 最早開始時間 最晚開始時間 時差（冗余時間）
AB 1 1 0
BD AB 4 4 0
BI AB 4 5 1
DI AB,BD 9 9 0
IJ AB,BD,DI,BI 11 11 0
AE 1 4 3
EG AE 5 8 3
GJ AE,EG 8 11 3
JL AB,BD,BI,DI,IJ,AE,EG,GJ 13 13 0
AC 1 5 4
CF AC 6 10 4
FH AC,CF 9 13 4
GH AE,EG 8 11 3
HK AE,EG,GH,AC,CF,FH 11 14 3
JK AB,BD,BI,DI,IJ,AE,EG,GJ 13 16 3
KL AB,BD,BI,DI,IJ,AE,EG,GJ,JK,GH,AC,CF,FH,HK 15 18 3

由上述表格可知，\(AB、BD、DI、IJ、JL\) 活動的時差為 \(0\)，即為關鍵節點，因此關鍵路徑為 \(A\rightarrow B\rightarrow D\rightarrow I\rightarrow J\rightarrow L=20\)。

程序實現

誒，寫個程序驗證一下手算的正確與否吧。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
const int maxn = 105;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m, S, T;

struct Edge {
    int u, v, w, ET, LT;
    Edge(int _u,int _v,int _w,int _ET,int _LT):u(_u),v(_v),w(_w),ET(_ET),LT(_LT){}
};
vector<Edge*> G[maxn], GT[maxn], Edges; // 正圖和反圖

int calcET(Edge *e)
{
	if (e->u == S)
        return e->ET = 1;

    for(Edge *ee : GT[e->u])
        e->ET = max(e->ET, (ee->ET==-1?calcET(ee):ee->ET) + ee->w);

	return e->ET;
}

int calcLT(Edge *e)
{
	if (e->u == T)
        return e->LT = e->ET;

    for(Edge *ee : G[e->v])
        e->LT = min(e->LT, (ee->LT==INF?calcLT(ee):ee->LT) - e->w);

    return e->LT;
}

bool vis[maxn];
vector<int> path;
void dfs(int u)
{
    if (u == T)
    {
        path.push_back(u);
        for(int i=0;i<path.size();i++)
            printf(i!=path.size()-1?"%c->":"%c\n", path[i]+'A'-1);
        path.pop_back();
        return;
    }
    vis[u] = true;
    for (Edge *e : G[u])
        if(!vis[e->v] && e->ET==e->LT)
        {
            path.push_back(u);
            dfs(e->v);
            path.pop_back();
        }
    vis[u] = false;
    return;
}

char s[5];
int main()
{
    freopen("out.txt", "w", stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    rep(i,1,m)
    {
        int u, v, w;
        scanf("%s", s); u = s[0]-'A'+1;
        scanf("%s", s); v = s[0]-'A'+1;
        scanf("%d", &w);
        Edge* e = new Edge(u, v, w, -1, INF);
        G[u].push_back(e);
        GT[v].push_back(e);
        Edges.push_back(e);
    }
    // 默認 1 是起點, n 是終點，起點入度為 0，終點出度為 0，數據合法。不是的話得改造程序求個拓撲之類的。
	S = 1;
	T = n;
	// 算 ET
	G[T].push_back(new Edge(T, -1, 0, -1, INF));
	calcET(G[T].back());
	// 算 LT
	calcLT(new Edge(-1, S, 0, -1, INF));
	// 輸出表
    for(Edge *e : Edges)
        printf("%c%c\t%d\t%d\t%d\n", e->u+'A'-1, e->v+'A'-1, e->ET, e->LT, e->LT-e->ET);
    printf("%c.\t%d\t%d\t%d\n", G[T].back()->u+'A'-1, G[T].back()->ET, G[T].back()->LT, G[T].back()->LT-G[T].back()->ET);
    // 求關鍵路徑
    dfs(S);
	return 0;
}
/*
12 16
A B 3
A E 4
A C 5
B D 5
B I 6
E G 3
C F 3
D I 2
I J 2
G J 2
G H 3
F H 1
J L 8
J K 2
H K 4
K L 3


12 15
A B 2
B C 3
B F 4
B D 2
C E 5
D G 3
E H 2
E F 3
F I 5
G I 6
I J 2
I K 4
J L 1
K L 2
H L 3


12 17
A B 5
A E 3
A C 4
B D 6
B I 4
E G 4
C F 3
D I 3
I J 3
G I 2
G J 7
F G 6
F H 3
J L 9
H J 3
H K 6
K L 2

12 17
A B 5
A E 3
A C 4
B D 6
B I 4
E G 4
C F 3
D I 5
I J 4
G I 2
G J 7
F G 6
F H 3
J L 9
H J 3
H K 6
K L 2

12 17
A B 6
A E 10
A C 4
B D 6
B I 4
E G 4
C F 3
D I 5
F G 6
G I 2
G J 7
I J 4
F H 3
J L 9
H J 3
H K 6
K L 2

*/

尾巴

好的，感謝你看到這里，對文章有錯誤的地方歡迎指出，謝謝。
如果覺得本文寫得不錯，不妨點贊、評論、收藏、分享，你的三連是對我最大的支持！

我的 Github：zhangt2333's Github
我的 CSDN：zhangt2333's CSDN
我的 博客園：zhangt2333's cnblog
我的 小書房：https://zhangt.top/

本文作者：zhangt2333
版權聲明：本博客所有文章除特別聲明外，均采用 CC BY-NC-SA 4.0 許可協議 。轉載請注明出處！


免責聲明！

本站轉載的文章為個人學習借鑒使用，本站對版權不負任何法律責任。如果侵犯了您的隱私權益，請聯系本站郵箱yoyou2525@163.com刪除。



猜您在找 項目管理中通過CPM算法求關鍵路徑，最早和最晚開始時間 nginx 請求開始時間 獲取日期的最早和最晚時間 根據開始時間結束時間，計算工作日的天數 java根據開始時間結束時間計算中間間隔日期 java根據開始時間結束時間計算中間間隔日期 知道開始時間結束時間 計算這之間一共多少天 java根據開始時間結束時間計算中間間隔日期 2.element ui 實現開始時間、結束時間聯動 layui開始時間小於結束時間
 
粵ICP備18138465號   © 2018-2025 CODEPRJ.COM