一. 預備知識
1. 流網絡：
有向圖G=(V,E)滿足（1）存在無入邊的源結點s（2）存在無出邊的目標點t（3）每條邊e都有一個非負容量ci
2. 流
流網絡中從s-t的流是一個實值函數 f ，滿足
3. 余圖（殘存網絡）
對於流網絡G，邊容量為c，流為f，則定義殘存容量cf 為
即，對每一條邊，正向記為：c - f，逆向記為：f
圖（a）為一個流網絡，圖（b）展示了它的余圖
4. 增廣路徑
在余圖中找到一條s~>t最大流量的路徑，該路徑為增廣路徑
上圖（b）中s-v2-v3-t，容量為4的路徑即為增廣路徑
5. 流網絡的切割
流網絡G中的一個切割（S，T）將結點集合V划分為S和T=V-S兩個集合，滿足s€S，t€T。
- 切割的凈流量：
- 切割的容量：
推論：流和割弱對偶關系
給定流網絡 G＝(V,E),s是源,t是匯. 設f是G上的 一個流，S,T是G的任意一個切割，則f(S,T)=| f |.
給定流網絡 G＝(V,E). 設f是G上的一個流，S,T 是G的任意一個割，則| f | <= c(S,T)
二.最大流算法（基本的Ford-fulkerson方法）
1. 思路：
（1）初始化：對所有的e，f( e ) = 0
（2）while迭代：
只要G的余圖中存在增廣路徑P，沿着P更新 流 和 余圖
直到不存在P
（3） 得到最大流
2. 定理
3. 算法正確性證明
（1）可終止性：不妨將容量放縮，乘一個系數使之成為整數，則每次流至少增加整數1，則可終止
（2）時間復雜度：O（mC），m：邊的數量，C：最大流 | f |。
（3）正確性：
設FF算法在流 f 上停止
則，不存在s - t 的路徑P，即s 與 t不連通
設：與s連通的點集為S，
則（S，V-S）是G的一個切割
對任意的u€S,v€V-S,f(u,v) = c(u,v)
則| f | = c（S，T）
而| f | <= c（S，T）
則f是最大流。
4. 算法改進：
--算法優劣主要取決於尋找增廣路徑的時間復雜度
