聯合省選 2020 題解

先更點口胡題解。

Day1T1

記\(pre_{1/2},suf_{1/2}\)分別表示兩種屬性的戰士的能量前/后綴和，找到最大的\(i\)滿足\(pre_{1,i} \le suf_{2,i}\)，也即\(pre_{1,i} +pre_{2,i} \le sum_2\)。

只需要維護支持單點修改和二分的數據結構即可。樹狀數組是一種可行的選擇。

Day1T2

把普通多項式多項式轉化成組合數多項式的形式，即\(f(k)=\sum_{i=0}^mb_i\binom{k}{i}\)。

於是

\[\sum_{k=0}^nf(k)\times x^k \times \binom{n}{k}=\sum_{k=0}^n\sum_{i=0}^{\min(m,k)}b_i\binom{k}{i}x^k\binom{n}{k}\\=\sum_{i=0}^mb_i\binom{n}{i}\sum_{k=i}^{n}x^k\binom{n-i}{k-i}\\=\sum_{i=0}^mb_i\binom{n}{i}x^{i}(x+1)^{n-i} \]

計算\(\{b_i\}\)的過程中不需要使用到除\(1\)以外的數的逆元，因此對模數沒有要求。

Day1T3

根據擬陣那套理論，限定禮品集合\(A\)和\(B\)為“最小”和“最大”的等價條件是：對於任意\(A\)中元素\(x\)和非\(A\)中元素\(y\)，若\(A\cup\{y\}\setminus\{x\}\)是一個基，那么\(val_y \ge val_x\)；集合\(B\)同理。

此時問題相當於給出若干偏序關系和調整權值的代價函數，要求最小化調整代價。

由於代價函數是凸的，可以運用保序回歸那套理論，對所有禮品的權值做整體二分，每次用網絡流求一個最小權閉合子圖作為權值划分的依據。

Day2T1

狀壓即可。

Day2T2

只需要實現一個數據結構維護一個無序數集，支持全體數字加一、快速合並、查詢所有數異或和。把二進制位反過來建\(\text{01-Trie}\)即可。

Day2T3

求圖中所有生成樹邊權和只需要令每條邊邊權為\(1+w_ix\)后在模\(x^2\)下做普通矩陣樹即可，時間復雜度\(O(n^3)\)。

加入了\(\gcd\)一項后套路地進行一次莫比烏斯反演，可以發現答案為\(\sum_d\varphi(d)\times [\mbox{所有邊都是}d\mbox{的倍數的生成樹的邊權和}]\)，看上去需要做\(\max\{w_i\}\)次求行列式，但考慮到參與構成此部分的圖中邊的總數不超過\(m\times \sigma_0(w_i)\)，而一張少於\(n-1\)條邊的圖中一定不包含生成樹，故求行列式的次數其實只有\(O(\frac{m\times \sigma_0(w_i)}{n-1})\)次，總復雜度可以估計為\(O(n^4\sigma_0(w_i))\)。

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代碼等loj上傳了數據且有時間了再寫。

咕咕咕。