實驗四 RSA 中公開的模數 N

實驗內容

【時間】6 月 13 號（周六）晚上

【地點】待定

【編程語言】Python（推薦）或者 C/C++

【實驗目的】

1. 了解公鑰加密方案的一般結構；
2. 深入理解 RSA 加密原語的密鑰生成；
3. 通過使用 Python（推薦）或者 C，編程實現對沒有正確生成密鑰的 RSA 的破解，提醒大家不要嘗試自己隨意實現加密原語。

【實驗內容】
實驗內容和要求請見附件 EXP4-Doc.pdf

實驗准備

本實驗擬采用 C++ 作為編程語言。同實驗二，本實驗也需要配置 GMP 庫，詳細配置過程見實驗二相應部分。

實驗分析

實驗要求

通常，構成 RSA 模數 \(N\) 的素數 \(p\) 和 \(q\) 應該被獨立地產生。但是，假設一個開發者決定通過選擇一個隨機數 \(R\)，並搜索其附近的兩個素數作為 \(p\) 和 \(q\)。那么，我們來證明這種方法得到的 RSA 的模數 \(N = pq\) 能被輕易的分解。

假設給定一個合數 \(N\) 並知道 \(N\) 是兩個彼此很接近的素數 \(p\) 和 \(q\) 的乘積，我們的任務是分解 \(N\)。

• 任務 1：模數 \(N\) 是兩個素數 \(p\) 和 \(q\) 的乘積，滿足 \(|p-q|<2 N^{1/4}\)。（模數 \(N\) 請見附件 task.txt）
• 任務 2：模數 \(N\) 是兩個素數 \(p\) 和 \(q\) 的乘積，滿足 \(|p-q|<2^{11} N^{1/4}\)。（模數 \(N\) 請見附件 task.txt）。

任務 1

以下思路來源於附件 EXP4-Doc.pdf

對模數 \(N\) 和素數 \(p\)，\(q\) 滿足，

\[|p-q|<2N^{1/4} \tag{1.1} \]

我們令 \(A\) 是兩個素數的算術平均值，即 \(A=\frac{p+q}{2}\)。由於 \(p\) 和 \(q\) 都是奇數，所以 \(A\) 一定是一個整數。為了分解 \(N\)，我們需要了解，在條件 \((1.1)\) 下 \(\sqrt{N}\) 是非常接近 \(A\) 的。具體來講，有

\[0<A-\sqrt{N}<1 \tag{1.2} \]

由於 \(A\) 是一個整數，將 \(\sqrt{N}\) 湊成最接近的整數便能獲取 \(A\) 的值，即 \(A = \lceil\sqrt{N}\rceil\)。

因為 \(A\) 是 \(p\) 和 \(q\) 的中點，所以有 \(x\) 使得 \(p=A-x\) 以及 \(q=A+x\)。又因為 \(N=pq=(A-x)(A+x)=A^{2}-x^{2}\)，因此 \(x=\sqrt{A^{2}-N}\)。那么我們就可以得到通過計算 \(A-x\) 和 \(A+x\) 得到 \(p\) 和 \(q\) 的值了。

void solve1()
{
    mpz_class N(
        "17976931348623159077293051907890247336179769789423065727343008115773267580550562068698537944921298295958550138"
        "75371640157101398586478337786069255834975410851965916151280575759407526350074759352887108236499499407718956170"
        "54361149474865046711015101563940680527540071584560878577663743040086340742855278549092581");
    mpz_class p, q;
    mpz_class A, x;

    mpz_sqrt(A.get_mpz_t(), N.get_mpz_t());
    // 向上取整
    A++;
    mpz_class temp = A * A - N;
    mpz_sqrt(x.get_mpz_t(), temp.get_mpz_t());
    p = A - x;q = A + x;
    cout << "p: " << p << "\nq: " << q << endl;

    return;
}

對不等式 \(0<A-\sqrt{N}<1\) 的證明

左邊部分 \(A-\sqrt{N}>0\)：

由基本不等式 \(\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\) 可以得到 \(\sqrt{pq} < \frac{p+q}{2}\)（因為 \(p \not= q\)，所以無法取到等號），即 \(\sqrt{N} < A\)。

右邊部分 $A-\sqrt{N}<1$：

首先，因為 \(A=\frac{p+q}{2}\)，\(N=pq\)，

\[A^{2}-N=\left(\frac{p+q}{2}\right)^{2}-N=\frac{p^{2}+2N+q^{2}}{4}-N=\frac{p^{2}-2 N+q^{2}}{4}=(p-q)^{2}/4 \tag{1.3} \]

那么對於左式 \(A-\sqrt{N}\)，有：

\[A-\sqrt{N}=\frac{(A-\sqrt{N})(A+\sqrt{N})}{A+\sqrt{N}}=\frac{A^{2}-N}{A+\sqrt{N}}\stackrel{(1.3)}=\frac{(p-q)^{2}/4}{A+\sqrt{N}} \tag{1.4} \]

由於 \(\sqrt{N} < A\)，那么，

\[A-\sqrt{N}\stackrel{(1.4)}=\frac{(p-q)^{2}/4}{A+\sqrt{N}} < \frac{(p-q)^{2}/4}{\sqrt{N}+\sqrt{N}}=\frac{(p-q)^{2}}{8\sqrt{N}} \tag{1.5} \]

由於任務 1 滿足 \(|p-q|<2N^{1/4}\)，即 \((p-q)^{2}<4\sqrt{N}\)。最后得到，

\[A-\sqrt{N} \stackrel{(1.5)}< \frac{(p-q)^{2}}{8\sqrt{N}} \stackrel{(1.1)}< \frac{4\sqrt{N}}{8\sqrt{N}}=1/2 < 1 \tag{1.6} \]

任務 2

對模數 \(N\) 和素數 \(p\)，\(q\) 滿足，

\[|p-q|<2^{11}N^{1/4} \tag{2.1} \]

和任務 1 一樣，令 \(A\) 是兩個素數的算術平均值。由於任務 2 滿足 \(|p-q|<2^{11}N^{1/4}\)，即 \((p-q)^{2}<2^{22}\sqrt{N}\)，代入式 \((1.5)\) 可以得到：\(A-\sqrt{N} \stackrel{(1.5)}< \frac{(p-q)^{2}}{8\sqrt{N}} \stackrel{(2.1)}< \frac{2^{22}\sqrt{N}}{8\sqrt{N}}=2^{19}\)，所以，有

\[0<A-\sqrt{N}<2^{19} \tag{2.2} \]

所以，整數 \(A\) 的范圍為 \(\lceil\sqrt{N}\rceil \leq A \leq \lfloor\sqrt{N}\rfloor + 2^{19}\)。我們只需枚舉范圍內的值，找到整數 \(A\) 滿足 \(N=pq\) 即可，具體做法同任務 1。

void solve2()
{
    mpz_class N(
        "64845584280807166966282426534677227872634372070697626306043907037879730861808111646271401527606141756919558732"
        "18402545206554249067198924288448418393532819729885313105117386489659625828215025049902644521008852816733037111"
        "42296421027840289307657458645233683357077834689715838646088239640236866252211790085787877");
    mpz_class p, q;
    mpz_class A, x;

    mpz_sqrt(A.get_mpz_t(), N.get_mpz_t());

    for(int i = 1; i < 524288; i++)
    {
        A++;
        mpz_class temp = A * A - N;
        mpz_sqrt(x.get_mpz_t(), temp.get_mpz_t());
        p = A - x;
        q = A + x;

        if(p * q == N)
        {
            cout << "p: " << p << "\nq: " << q << endl;
            break;
        }
    }

    return;
}

完整代碼 👉 傳送門

實驗結果

運行代碼，有以下結果：

Task 1:
p: 13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073662768891111614362326998675040546094339320838419523375986027530441562135724301
q: 13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073778560980348930557750569660049234002192590823085163940025485114449475265364281

Task 2:
p: 25464796146996183438008816563973942229341454268524157846328581927885777969985222835143851073249573454107384461557193173304497244814071505790566593206419759
q: 25464796146996183438008816563973942229341454268524157846328581927885777970106398054491246526970814167632563509541784734741871379856682354747718346471375403