各種經典透鏡投影模型
Models for the various classical lens projections
魚眼鏡片與其他鏡片同等重要
where fisheye lenses are considered on an equal footing with the others
一．前言
為了簡化和清晰本文，攝影圖像都假設是完全旋轉對稱的，並由折射光學產生。實際上，對於絕大多數攝影和全景（即非攝影測量）目的，這種假設現在可能是有效的。此外，矩形圖像捕獲設備（例如數字傳感器）的中心此后假定在透鏡光軸上。事實上，這並不總是正確的：即使在高端攝影齒輪上也可能存在輕微的偏心。它經常被留下，因為這一缺陷在休閑攝影中沒有真正的后果，也不被視為真正的缺陷。但是，在全景成像（拼接）工作流程的優化階段，應考慮可能的偏心，並可能進行數字校正。
本文從根本上假設存在一個連接物體空間和入射光線會聚的像面（在經典透視投影中稱為透視中心）的單點和不動點。這種簡化（以最簡單的方式）模擬了透鏡折射產生的復雜路徑。當不涉及光圈和焦距設置時，例如當感興趣的對象點位於距鏡頭“特定”距離時，這個重要的近似值肯定是有效的。例如，根據入射光的角度，多透視點相機系統、非中心相機系統和狹縫相機系統不考慮入射光瞳孔的移動。
對各種經典透鏡投影進行了定性和經驗描述。高級投影建模：對本文的補充。自20世紀90年代初以來，為適應三維場景建模等需要，人提出並發展了多種鏡頭建模方法，。特別是，參數多項式模型（在許多非常不同的形式下）目前被非常有效地用於攝影鏡頭評估、圖形計算機視覺、機器人工程、全景成像（例如。。。全景拼接）等。這些不同的方法的優點是允許模型描述在至少所有的折射透鏡中進行可能的推廣。
二．繪制透鏡投影圖（用一點三角法）
基本原則
三．經典透鏡投影
模型經典分類法毫無疑問是純粹的傳統分類法（也就是說：任意分類法），但它是一種非常聰明的簡化方法，其優點是可以用各種簡單的數學公式很好地匹配每個模型。它的發明是為了清楚地區分它之間一些孤立的典型攝影鏡頭“概念”。這已成為事實上的標准。 將上述原理應用於五個著名的具體案例，得到以下圖表：
四．等價關系
對圖形的顏色使用相同的約定，上面的基本圖形與下面的圖形等效：
這些圖說明了從圖像中心到圖像點（在圖像平面中）的距離r（unit=“f”）是從鏡頭縱軸到相應感興趣點（在對象空間中）測量的角度θ的函數。
“標准”（即中心透視或直線）無畸變投影的公式為r=f tanθ。
大多數攝影鏡頭都屬於第一種投影，它將物體空間中的直線渲染為圖像平面上的直線。。。盡管許多人或多或少地受到幾何畸變的影響，如畸變（即桶、針墊或“胡子”）。
魚眼鏡頭通常用於拍攝多幅圖像，這些圖像應縫合成球形全景圖。有各種各樣的光學結構，但魚眼圖像投影的三角公式通常是由對應於數學函數的語言表達式任意定義的。這樣的經典分類是：
赤平投影：r=2f tan（θ/2）
等距（又稱等角）投影：r=fθ
等立體角（又稱等面積）投影：r=2f sin（θ/2）
正投影（又稱正弦定律）：r=f sin（θ）
五．魚眼透鏡徑向映射的說明
Q： 除了經典模型外，魚眼鏡頭是否有任何可能的數學徑向映射函數？
R： 當然，例如，圖表繪圖區域中曲線之間的空白可以用其他曲線填充，這些曲線將描述中間的“無名稱”模型！
應該注意到，雖然早在20世紀60年代，人就可以找到一些關於特殊光學概念的信息量非常大的技術文獻，但大多數文獻很少真正構建出來。無論如何，魚眼鏡頭一般很少被用來拍攝科學靜態照片以外的東西。。。在數字技術出現並在20世紀90年代改變了游戲規則和游戲規則之前……之前提出的簡化分類法（僅包含五個類別）自然可以完成：沒有理由將整個圖形平面[r；θ]僅限於一些離散的圖。繪圖區域可以是連續的，也可以是平滑過渡的。例如，在下圖中的“經典五點圖”中添加了三個補充圖。可以稱之為（圖表上從左到右）：巨大的針墊、桶形畸變和亞立體圖）
對一些真實的透鏡進行了實驗測量。下面是r=f（θ）圖，這些鏡頭在全景攝影師群體中很受歡迎。
重要提示
沿垂直坐標軸是距離中心的距離，但不同於上面的其他繪圖，它不除以焦距！水平軸（θ）的跨度從負到正，以簡化極性表示：入射角不應有任何符號，因為存在旋轉對稱性（相反，輔助極性角Ψ允許完成整個物體球體）
六． 5個經典投影的方法
可以使用新方法繪制表示經典投影的圖表：
可以選擇另一個不是直線的投影作為參考。繪制不以θ為顯式變量的圖形，例如通過計算圖像的一個圖像點與徑向距離ru的參考投影函數中的對應點之間的徑向距離差ru rd。可以在下表右側的兩個圖表上看到。
入射光角θ的徑向距離r函數Radial distance r function of incident light angle θ
這是r=θ函數最常見的正則表示。這個演示通常是這樣做的：它是科學文獻中最常見的解釋“各種鏡頭投影”的方法。本文介紹了五種不同的經典非參數投影，它是光線進入透鏡的入射角的函數。在所有其他投影的中間有一條直線（黑色），等距投影可能看起來是所有投影中的“中間寄存器”。。。但傳統、人類的視覺和良好的判斷力都告訴，直線投影實際上是正常的統治標准。記住：直線必須是直線！
θ=π/2（90°非對稱垂直線）是將直線世界與魚眼世界分開的硬極限，但與它的同級不同的是，正投影不能越過這條邊界線：π/2確實是最終可能的入射角極限。曲線靠近端點的斜率的水平性表示對圓形邊界附近圖像的巨大壓縮。。。
相對於任意投影的徑向距離偏差，沿圖像半徑。
對於沿圖像半徑（並除以焦距）的五個經典投影中的每一個，報告與理想魚眼等距投影（r=f*θ）的徑向偏差（除以焦距）。
這里可以清楚地看到，傳統的投影分類法傾向於從單一的透視投影中分離出一個組（“魚眼”）。這一觀察結果很重要：針對兩個系列，用於校正圖像的理想投影可能需要不同。
透視（失真校正）
魚眼（圖像投影轉換）
在處理這兩種不同的情況時，可能必須使用不同的校正模型。
這里報告沿圖像半徑（並除以焦距）的五個投影中的每一個投影與理想直線投影（rd=f*θ）的徑向偏差（除以焦距）。這說明了優化魚眼圖像全景拼接的主要方法。這可能是因為全景軟件的性能（精度和穩定性）的“最佳點”（接近水平坐標軸），當需要縫合魚眼圖像來渲染完整的球形全景圖時。。。。
... 幸運的是，大多數魚眼鏡片都是這種（等立體角）。相反，當使用遠離“理想”投影（等距）的魚眼鏡頭時，可以期望更高的RMS控制點距離誤差。
關於焦距的評論
即使焦距已知相同，兩個透鏡之間的視場（FoV）也可能有很大的差異：不同的投影和相同的焦距==>不同的FoV，除非光學/機械漸暈造成另一個嚴格的限制。。。。 注意，當垂直坐標未標准化（例如在這些其他圖上）並且θ非常小時，當一組不同的被考慮透鏡的焦距相同時，所有曲線（包括直線）在一條直線上重合（r=k fθ）。換句話說：所有焦距相同的圖像在圓形圖像的中心附近共享相同的攝影放大率。所有的圖像“看起來都一樣”。這是一種定義和測量焦距的方法。。。
七．焦距的對角線角度（在APS-C和全幀傳感器上）功能
這些圖顯示了最終可以沿着數字傳感器對角線捕獲的理論視角。來自真實相機的圖像通常受到透鏡結構內的光學漸暈的限制，視場不超過180°到195°取決於投影類型。
八．其他主題
Q： “扭曲”影響魚眼嗎？
R： 依看，不，但這是可以爭論的。失真不應該是一個沒有補充說明的詞，即使這是在大多數相關文獻中做的（也不得不做了幾次，只是為了確保被理解）。魚眼的變形對普通攝影師來說往往具有退火的美學意義，但應該向他解釋，這種“變形”絕對是一種有意無意的絕對特征，是一種相當有力的工具。
然而，“畸變”這個詞的正式定義是測量對“標准”（即直線）透鏡產生負面影響的幾何畸變。魚眼鏡頭是特意設計來產生具有彎曲線條的圖像的，而這些線條本來應該與標准鏡頭是直線的。除了一些非攝影用途，平面圖像上的彎曲邊緣和線條沒有“問題”。在積極的一面，它可以產生非常大的視場角，這是不可能用標准鏡頭得到的。魚眼投影偏離直線投影（反之亦然）。但偏差並不是扭曲。
在正式的ISO 9039:2008（E）<<光學和光子學-光學系統的質量評估-失真的測定>>，人可以在導言中看到：一般來說，旋轉對稱光學系統的功能是形成一個與物體幾何相似的圖像，除了一些特殊的系統，如魚眼鏡片和目鏡，這種情況是故意不保持的。理想情況下，該功能是根據透視投影的幾何結構來實現的。偏離理想的圖像幾何結構稱為不連續。（…）。本文有意避免在涉及魚眼鏡頭時正式禁止或不鼓勵稱為“失真”，這是遺憾：雖然使用魚眼鏡頭“失真”的官方標准定義顯然是沒有意義的，但這是（而且仍然是）經常做的，包括在許多最近的著名專利中文件。IMO的“畸變”應該明確地限制在直線透鏡上。
當這一切都說出來的時候，事情有時就變得不那么簡單了。有一個堅定和明確的意見和判斷並不總是可行的。讓舉一個例子來演示：魚眼鏡頭設置在裁剪相機傳感器上的長焦（例如28毫米，smc Pentax 1/3.5-4.5；17-28毫米）上拍攝的圖像與28毫米受桶形失真影響的直線鏡頭拍攝的圖像和安裝在全幀相機上的圖像有很大不同嗎？必須承認，在這樣的條件下，差別可能是微乎其微的。。。
Q： 一個真正的魚眼鏡頭也會受到復雜的“偏離標准”的影響嗎？
R： 是的。像標准的“失真”直線透鏡一樣，魚眼透鏡可能會受到復雜的徑向映射的影響，這與任何簡單的“經典”魚眼模型都有很大的不同。
許多直線透鏡受到相當大的畸變影響。這種幾何像差可以是桶形的（廣角鏡頭最受關注）。它也可以是針墊失真（遠距鏡頭是最關心的），但也可以經常觀察到復雜的混合失真（即“胡子”失真）的圖像拍攝與許多現代非常廣角直線鏡頭。沒有理由假設魚眼透鏡也不存在標准透鏡上觀察到的相同的可能復雜性，特別是最近在一些設計中引入了非球面透鏡元件。。。。這種復雜的映射不能用“簡單”的經典三角函數來建模，因此高次多項式函數可以更好地擬合。但那是另一個故事。
關於失真“標准”：事實上，它都在對失真圖像邊緣附近的三個像素進行簡單的線性近似，這些當前的“標准”方法甚至不能在“胡子”或直線鏡頭的“波浪”失真的情況下提供正確的信息。