【學習總結】哈希表：哈希函數構造；哈希表解決地址沖突的方法

小結

• 散列函數構造方法：

  • 1.直接定址法：H(key) = a*key + b
  • 2.除留余數法：H(key) = key % p(p為不大於散列表表長，但最接近或等於表長的質數p)
  • 3.數字分析法：選取r進制數數碼分布較為均勻的若干位作為散列地址
  • 4.平方取中法：取關鍵字的平方值的中間幾位作為散列地址
  • 5.折疊法：將關鍵字分割成位數相同的幾部分，然后取這幾部份的疊加和作為散列地址

• 處理沖突的方法：

  • 1.開放定址法(閉哈希表)：在沖突的哈希地址的基礎上進行處理，得到新的地址值。Hi = (H(key)+di) % m(m表示散列表表長，di為增量序列)
    • 1）線性探測法：dii=1，2，3，…，m-1
    • 2）二次探測法：di=12，-12，22，-22，…，k2，-k2 ( k<=m/2 )
      • 沖突發生時，以原哈希地址為中心，在表的左右進行跳躍式探測，比較靈活。
    • 3）偽隨機數法：di=偽隨機數序列。
      • 具體實現時，應建立一個偽隨機數發生器，（如i=(i+p) % m），並給定一個隨機數做起點。
  • 線性探測再散列的優點是：只要哈希表不滿，就一定能找到一個不沖突的哈希地址，而二次探測再散列和偽隨機探測再散列則不一定。
  • 注：在開放定址的情形下，不能隨便物理刪除表中已有元素，若刪除元素將會截斷其他具有相同散列地址的元素的查找地址。若想刪除一個元素，給它做一個刪除標記，進行邏輯刪除。
  • 2.鏈地址法、拉鏈法(開哈希表)
    • 將所有哈希地址為i的元素構成一個稱為同義詞鏈的單鏈表，並將單鏈表的頭指針存在哈希表的第i個單元中，因而查找、插入和刪除主要在同義詞鏈中進行。鏈地址法適用於經常進行插入和刪除的情況。
  • 3.再哈希法：同時構造多個不同的哈希函數，發生沖突時，使用其他哈希函數求值。這種方法不易產生聚集，但增加了計算時間。
  • 4.建立公共溢出區：將哈希表分為基本表和溢出表兩部分，凡是和基本表發生沖突的元素，一律填入溢出表

概述

• 哈希法又稱散列法、雜湊法以及關鍵字地址計算法等，相應的表稱為哈希表。這種方法的基本思想是：首先在元素的關鍵字k和元素的存儲位置p之間建立一個對應關系f，使得p=f(k)，f稱為哈希函數。創建哈希表時，把關鍵字為k的元素直接存入地址為f(k)的單元；以后當查找關鍵字為k的元素時，再利用哈希函數計算出該元素的存儲位置p=f(k)，從而達到按關鍵字直接存取元素的目的。

• 當關鍵字集合很大時，關鍵字值不同的元素可能會映象到哈希表的同一地址上，即 k1≠k2 ，但 H（k1）=H（k2），這種現象稱為沖突，此時稱k1和k2為同義詞。實際中，沖突是不可避免的，只能通過改進哈希函數的性能來減少沖突。

• 綜上所述，哈希法主要包括以下兩方面的內容：

1）如何構造哈希函數

2）如何處理沖突。

哈希函數的構造方法

• 構造哈希函數的原則是：①函數本身便於計算；②計算出來的地址分布均勻，即對任一關鍵字k，f(k) 對應不同地址的概率相等，目的是盡可能減少沖突。

• 下面介紹構造哈希函數常用的五種方法。

1． 數字分析法

• 如果事先知道關鍵字集合，並且每個關鍵字的位數比哈希表的地址碼位數多時，可以從關鍵字中選出分布較均勻的若干位，構成哈希地址。例如，有80個記錄，關鍵字為8位十進制整數d1d2d3…d7d8，如哈希表長取100，則哈希表的地址空間為：00~99。假設經過分析，各關鍵字中 d4和d7的取值分布較均勻，則哈希函數為：h(key)=h(d1d2d3…d7d8)=d4d7。例如，h(81346532)=43，h(81301367)=06。相反，假設經過分析，各關鍵字中 d1和d8的取值分布極不均勻， d1 都等於5，d8 都等於2，此時，如果哈希函數為：h(key)=h(d1d2d3…d7d8)=d1d8，則所有關鍵字的地址碼都是52，顯然不可取。

2． 平方取中法

• 當無法確定關鍵字中哪幾位分布較均勻時，可以先求出關鍵字的平方值，然后按需要取平方值的中間幾位作為哈希地址。這是因為：平方后中間幾位和關鍵字中每一位都相關，故不同關鍵字會以較高的概率產生不同的哈希地址。

• 例：我們把英文字母在字母表中的位置序號作為該英文字母的內部編碼。例如K的內部編碼為11，E的內部編碼為05，Y的內部編碼為25，A的內部編碼為01, B的內部編碼為02。由此組成關鍵字“KEYA”的內部代碼為11052501，同理我們可以得到關鍵字“KYAB”、“AKEY”、“BKEY”的內部編碼。之后對關鍵字進行平方運算后，取出第7到第9位作為該關鍵字哈希地址，如圖。
  

3． 分段疊加法

• 這種方法是按哈希表地址位數將關鍵字分成位數相等的幾部分（最后一部分可以較短），然后將這幾部分相加，舍棄最高進位后的結果就是該關鍵字的哈希地址。具體方法有折疊法與移位法。移位法是將分割后的每部分低位對齊相加，折疊法是從一端向另一端沿分割界來回折疊（奇數段為正序，偶數段為倒序），然后將各段相加。例如：key=12360324711202065,哈希表長度為1000，則應把關鍵字分成3位一段，在此舍去最低的兩位65，分別進行移位疊加和折疊疊加，求得哈希地址為105和907。

4． 除留余數法

• 假設哈希表長為m，p為小於等於m的最大素數，則哈希函數為

• h（k）=k % p ，其中%為模p取余運算。

• 例如，已知待散列元素為（18，75，60，43，54，90，46），表長m=10，p=7，則有

  h(18)=18 % 7=4 h(75)=75 % 7=5 h(60)=60 % 7=4

  h(43)=43 % 7=1 h(54)=54 % 7=5 h(90)=90 % 7=6

  h(46)=46 % 7=4

• 此時沖突較多。為減少沖突，可取較大的m值和p值，如m=p=13，結果如下：

  h(18)=18 % 13=5 h(75)=75 % 13=10 h(60)=60 % 13=8

  h(43)=43 % 13=4 h(54)=54 % 13=2 h(90)=90 % 13=12

  h(46)=46 % 13=7

• 此時沒有沖突，如圖。
  

5． 偽隨機數法

• 采用一個偽隨機函數做哈希函數，即h(key)=random(key)。

• 在實際應用中，應根據具體情況，靈活采用不同的方法，並用實際數據測試它的性能，以便做出正確判定。通常應考慮以下五個因素 ：

l 計算哈希函數所需時間 （簡單）。

l 關鍵字的長度。

l 哈希表大小。

l 關鍵字分布情況。

l 記錄查找頻率

處理沖突的方法

• 通過構造性能良好的哈希函數，可以減少沖突，但一般不可能完全避免沖突，因此解決沖突是哈希法的另一個關鍵問題。創建哈希表和查找哈希表都會遇到沖突，兩種情況下解決沖突的方法應該一致。下面以創建哈希表為例，說明解決沖突的方法。常用的解決沖突方法有以下四種：

1. 開放定址法

• 這種方法也稱再散列法，其基本思想是：當關鍵字key的哈希地址p=H（key）出現沖突時，以p為基礎，產生另一個哈希地址p1，如果p1仍然沖突，再以p為基礎，產生另一個哈希地址p2，…，直到找出一個不沖突的哈希地址pi ，將相應元素存入其中。這種方法有一個通用的再散列函數形式：

      Hi=（H（key）+di）% m   i=1，2，…，n
  

• 其中H（key）為哈希函數，m 為表長，di稱為增量序列。增量序列的取值方式不同，相應的再散列方式也不同。主要有以下三種：

l 線性探測再散列

dii=1，2，3，…，m-1

這種方法的特點是：沖突發生時，順序查看表中下一單元，直到找出一個空單元或查遍全表。

l 二次探測再散列

di=12，-12，22，-22，…，k2，-k2    ( k<=m/2 )

這種方法的特點是：沖突發生時，在表的左右進行跳躍式探測，比較靈活。

l 偽隨機探測再散列

di=偽隨機數序列。

具體實現時，應建立一個偽隨機數發生器，（如i=(i+p) % m），並給定一個隨機數做起點。

例如，已知哈希表長度m=11，哈希函數為：H（key）= key % 11，則H（47）=3，H（26）=4，H（60）=5，假設下一個關鍵字為69，則H（69）=3，與47沖突。如果用線性探測再散列處理沖突，下一個哈希地址為H1=（3 + 1）% 11 = 4，仍然沖突，再找下一個哈希地址為H2=（3 + 2）% 11 = 5，還是沖突，繼續找下一個哈希地址為H3=（3 + 3）% 11 = 6，此時不再沖突，將69填入5號單元，參圖8.26 (a)。如果用二次探測再散列處理沖突，下一個哈希地址為H1=（3 + 12）% 11 = 4，仍然沖突，再找下一個哈希地址為H2=（3 - 12）% 11 = 2，此時不再沖突，將69填入2號單元，參圖8.26 (b)。如果用偽隨機探測再散列處理沖突，且偽隨機數序列為：2，5，9，……..，則下一個哈希地址為H1=（3 + 2）% 11 = 5，仍然沖突，再找下一個哈希地址為H2=（3 + 5）% 11 = 8，此時不再沖突，將69填入8號單元，參圖8.26 (c)。

從上述例子可以看出，線性探測再散列容易產生“二次聚集”，即在處理同義詞的沖突時又導致非同義詞的沖突。例如，當表中i, i+1 ,i+2三個單元已滿時，下一個哈希地址為i, 或i+1 ,或i+2，或i+3的元素，都將填入i+3這同一個單元，而這四個元素並非同義詞。線性探測再散列的優點是：只要哈希表不滿，就一定能找到一個不沖突的哈希地址，而二次探測再散列和偽隨機探測再散列則不一定。

2. 再哈希法

• 這種方法是同時構造多個不同的哈希函數：

  Hi=RH1（key） i=1，2，…，k

• 當哈希地址Hi=RH1（key）發生沖突時，再計算Hi=RH2（key）……，直到沖突不再產生。這種方法不易產生聚集，但增加了計算時間。

3. 鏈地址法

• 這種方法的基本思想是將所有哈希地址為i的元素構成一個稱為同義詞鏈的單鏈表，並將單鏈表的頭指針存在哈希表的第i個單元中，因而查找、插入和刪除主要在同義詞鏈中進行。鏈地址法適用於經常進行插入和刪除的情況。

• 例如，已知一組關鍵字（32，40，36，53，16，46，71，27，42，24，49，64），哈希表長度為13，哈希函數為：H（key）= key % 13，則用鏈地址法處理沖突的結果如圖8.27所示：

• 本例的平均查找長度 ASL=(17+24+3*1)=1.5

4、建立公共溢出區

• 這種方法的基本思想是：將哈希表分為基本表和溢出表兩部分，凡是和基本表發生沖突的元素，一律填入溢出表

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